Documento Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
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Publicado: 8 de marzo de 2015
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del PlanoCartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal ode simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir conel “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
x
De lo anterior resulta:x (trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:x
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:x
Sustituyendo en la expresión de distancias x resulta:
x
Elevando ambos miembros dela ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p)2 = (x – p)2 + y2
x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2
x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2
Simplificando términos semejantes y reordenando laexpresión, se obtiene:
y2 = 4px
que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”
Ecuación de la parábola...
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del PlanoCartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal ode simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir conel “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
x
De lo anterior resulta:x (trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:x
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:x
Sustituyendo en la expresión de distancias x resulta:
x
Elevando ambos miembros dela ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p)2 = (x – p)2 + y2
x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2
x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2
Simplificando términos semejantes y reordenando laexpresión, se obtiene:
y2 = 4px
que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”
Ecuación de la parábola...
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