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TRATAMIENTO DE SEÑALES DIGITALES

Señales digitales
Vamos a estudiar sistemas lineales que trabajan con señales temporales. Hasta ahora hemos trabajado con datos multidimensionales pero estáticos, que nunca dependían del tiempo, como la clasificación de patrones. El tiempo establece un orden en la entrada de datos, i.e. los datos están indexados por una variable continua t. Los llamaremosseñales temporales o series temporales. Esto da lugar a una estructura en el espacio de entrada que debe ser organizada mediante topologías adecuadas.

Señales digitales
La mayor parte de lo que percibimos del mundo son fenómenos que existen en el tiempo. Los mensajes están asociados a variables físicas (la presión en el oído, ondas luminosas en la vista, etc.) que pueden ser interpretadas comofunciones reales de variable real D = x(t). El tiempo es continuo y las funciones son continuas. A estas señales se las llama señales analógicas. Normalmente imponemos restricciones para simplificar el desarrollo, que no afecten a las conclusiones. Supondremos que las funciones son suaves (derivables) y tienen una cantidad finita de energía:
∞ −∞

x 2 (t )dt < ∞

Señales digitales
Losordenadores no pueden trabajar directamente con señales analógicas (continuas). Es necesario transformarlas en discretas mediante un proceso que consiste en tomar los valores de la función en diferentes valores del tiempo:

x( n0 ) = x(t ) |t = n0
físicamente esto se implementa en un convertidor analógico a digital (A/D)

A/D

Señales digitales
A/D

Así transformamos una función real en unasucesión de números reales: {x(nT)} = x(T), x(2T), ... x(NT) y la variable se transforma en un número entero de modo que se puede almacenar en un número finito de bits. El problema consiste ahora en decidir cual debe ser el intervalo T que se elige de modo que no se pierdan las características esenciales de la señal

Señales digitales
El teorema de Nyquist dice que x(t) puede ser recuperada conprecisión y los datos x(nT) contienen toda la información necesaria para reconstruir la señal analógica si el inverso del intervalo, es decir la frecuencia elegida cumple

1 f s = > 2 f max Ts
donde fmax es la frecuencia máxima de la señal.

Procesamiento digital
Se puede considerar una señal digital {x(nT)} = x(T), x(2T), ... x(NT) o simplificando la notación x = [ x(n), x(n-1), ...x(n-N+1) ]t como un vector de longitud N

Procesamiento digital
Suponiendo una base ortonormal φ0, .. φN-1se puede escribir en términos de las proyecciones:

x=

N −1 i =0

x(i )φ i =

N −1 i =0

x(i )δ(n − i )

ì1 si n = 0 δ( n) = í 0 si n ≠ 0
Lo que quiere decir que para representar una señal discreta de longitud N necesitamos el valor actual y los N-1 anteriores. Un delay (operadorque retrasa la señal en un tiempo sin modificarla) es la topología natural para implementar esta descomposición.

Procesamiento digital
x(n) x(n-1) z-1

z es el operador delay en el campo complejo, dado por z = esT donde s=σ + i w y T es el periodo.

Procesamiento digital
En cada momento el vector señal cambia su posición en el espacio creando una trayectoria que se denomina trayectoriade la señal

Procesamiento digital
La diferencia con los problemas estáticos es que al añadir un nuevo dato x(n+1) el vector x que se genera tiene todas las componentes del anterior salvo la x(n-N+1) que desaparece para dejar sitio al nuevo dato. Todos los valores intermedios siguen almacenados pero en diferente posición. El vector así generado no es demasiado diferente del anterior y produceuna trayectoria en espiral, mientras que en los problemas estáticos no hay ninguna relación entre un patrón y otro.

Procesamiento digital
Si queremos analizar una señal discreta y periódica con 1.000.000 de datos, necesitaríamos un espacio de dimensión 1.000.000, completamente intratable. Si lo consideramos como una señal temporal, podemos limitar la posición de la trayectoria de la señal a...