DSITRIBUCIÓN CONTINUA

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Definición: Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial con parámetro β si su función de densidad de probabilidad es:para x ≥0

Es un modelo apropiado para la vida útil de objetos.

Si la distribución de Poisson da una descripción del número de ocurrencias por intervalo, la distribución exponencial aporta unadescripción de la longitud de intervalos entre las ocurrencias. Por ejemplo el número de automóviles que llegan a una estación de lavado de coches durante una hora se describe mediante la distribución dePoisson con una media de 5 automóviles por hora. El tiempo promedio entre llegadas es 1hora / 5 automóviles = 0.20 hora/automóvil. La distribución exponencial describe el tiempo entre llegadastiene una media de 0.20 por automóvil y la función de densidad exponencial será f(x) = 5 e-5x

Función de distribución acumulada exponencial:




Valor esperado E[X] = 1/β Varianza de X:V[X] = 1/β2

Ejemplo:

El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle se distribuye según un modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas de360 días.

a).- ¿Qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor de 400 días?
b).- Si la batería ya trabajo 400 días ¿Qué probabilidad hay que trabaje 200 días mas?
c).- Si se utilizan 5 deestas baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días

Solución:
Sea X el tiempo que trabaja la batería hasta que falla.
E[X] = 360 = 1/βentonces
β = 1/360
La función de distribución es:

a).- P(X>400) = 1 – F(400) = 1 –= 0.329

b).-
P(X > x) = 1 – F(x) = 1 – (1- e-x) = e-x

P(X>400+200 / X>400) = P(X>200) = e -200/360=0.574

c).- P(X>360) = 1 – F(360) = 1 –= 0.368
Si Y es la variable para el número de baterías de 5 que siguen trabajando después de 360 días entonces
Y  Binomial con n = 5 y p = 0.368...