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Integrales impropias
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que
las que hemosexaminado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada
f : (0,1]!R, f (t) = logt.
Puesto que f es continua, para cada x " (0,1] existe su integral en [x,1], que vale
! 1
x
f =
! 1
xlogt dt = [t logt −t]t=1
t=x = −1−xlogx+x;
y como
l´ım
x!0+
! 1
x
f = l´ım
x!0+
[−1−xlogx+x] = −1,
parece natural escribir, simplemente,
! 1
0
f = −1.
Igualmente, si en el intervalo noacotado [0,+∞) tomamos la función continua f (t) = e−t , para cada
x " [0,+∞) tenemos
! x
0
f =
! x
0
e−t dt = [−e−t ]t=x
t=0 = −e−x+1,
l´ım x!+∞
! x
0
f = l´ım x!+∞
"
−e−x+1
#
= 1,
loque sugiere escribir ! +∞
0
e−t dt = 1.
Siguiendo estas ideas podemos definir en distintas situaciones una integral generalizada o integral
impropia, lo que nos llevará a estudiar diferentestipos de condiciones que permitan asegurar su existencia.
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162 Capítulo 7. Integrales impropias
7.1.1. Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, divergentes,
oscilantesDefinición 7.1.1. Sea A $ R. Se dice que una función f : A!R es localmente integrable en A si es
integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.
Por ejemplo, todas las funcionescontinuas y todas las funciones monótonas, acotadas o no, son
localmente integrables.
Obsérvese que si −∞ < a < b % +∞, una función f es localmente integrable en [a,b) si y solo si
es integrable encada intervalo [a,x] $ [a,b). Análogamente, si −∞ % a < b < +∞, una función f es
localmente integrable en (a,b] si y solo si es integrable en cada intervalo [x,b] $ (a,b].
Consideremos en primer lugarfunciones definidas en intervalos del tipo [a,b), donde b es finito o
+∞.
Definición 7.1.2. Dada una función f : [a,b)!R localmente integrable, −∞ 0, la integral
$ b
a f diverge (a +∞).
• si !...