Ec. 3Er Grado

ESCUELA DE INGENIERÍA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

“ECUACIÓN DE TERCER GRADO”

PROFESOR:
MTRO. ALFONSO GERARDO LEAL GUAJARDO

ALUMNO:
I.B.Q. EDSON ERNESTO PÉREZ AVILA
AGUASCALIENTES, AGS. JUNIO DEL 2011.
Ecuación de tercer grado



Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
,
donde a, b, c y d (a ≠ 0)son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

El caso general
Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, delcuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publico en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.
Los pasos de la resolución son:
 Dividirla ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:
con , , .
 Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el término , compensado exactamente por que aparece en . Se obtiene:
, con p y q números del cuerpo que tienen las siguientes expresiones

.
 Y ahora, la astuciagenial: escribir . Así, la ecuación precedente da .
Desarrollando: .
Reagrupando: .
Factorizando: .
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:
, que implica .
 Pongamos y . Entonces tenemos y porque . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar , que se sabe resolver.
Luego y sonraíces cúbicas de y (que verifican y finalmente .
En el cuerpo , si y son estas raíces cúbicas, entonces las otras son y , y por supuesto y , con , una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado , las parejas posibles son , y .
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto y .

Discriminante
Resulta importante y a la vez esencial obtenerpropiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes.
 Demostración de la discriminante mediante transformaciones de equivalencia de la ecuación auxiliar
Trinomio cuadrado perfecto
Trasformación equivalente en
Moviendo al miembro derecho
Demostrado que cuando la ecuación posee raices Reales dobles.

Elcaso real
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Lasraíces cúbicas no plantean problemas.
Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar :
 Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
 Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
 Si Δ < 0 existen tres raíces reales.
Habrán notado que siempre hay por lo menos unasolución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.
En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.
Aunque lo más fácil es resolverla con el método...