Ec diferenciales

Índice general
1. Preliminares 2. Métodos Numéricos para Problemas con Valor Inicial 2.1. Métodos de Paso Simple (paso uno) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Método de Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Estimativa para el error en losMétodos de Runge-Kutta 2.2. Métodos de Paso Múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Métodos explícitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Métodos implícitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Análisis del error en los métodos multipaso . . . . . . . . 2.2.4. Métodos Predictor-Corrector . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones Diferenciales de OrdenSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6 6 9 11 16 17 18 20 21 22 23 26 26 26

A. Propiedades Básicas A.1. Error en interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Teorema del valor mediogeneralizado del cálculo integral . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 1 Preliminares
En este capítulo recordaremos algunos conceptos y propiedades asociados al estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, tales como la existencia y unicidad. Notación 1.1 Por conveniencia y siempre que no cause confusión, vamos a denotar a y (t) simplemente por y. Una ecuación diferencial ordinaria es unaformulación matemática que envuelve una función y sus derivadas, en una sola variable independiente. Algunos ejemplos son: dy = t + y, dt w0 = x2 + w2 , u00 + e−u − eu = f (x) (1.1)

En (1.1) se sobreentiende que y es función de t, mientras que w y u están en función de x. Nuevamente, en (1.1), las dos primeras son de orden uno o de primer orden, debido a que interviene sólo la primera derivada.Por otro lado, la tercera es de segundo orden. Cuando el orden en la ecuación es mayor o igual a dos, se dice que la ecuación es de orden superior. Una ecuación diferencial se denomina lineal, si la función y sus derivadas aparecen formando una combinación lineal en dicha expresión. Así por ejemplo, en (1.1), la primera es lineal. En contraste, la segunda y tercera ecuación diferencial son nolineales. Pero ecuaciones ordinarias pueden aparecer también en la forma de sistemas. Por ejemplo, a continuación tenemos un sistema con dos ecuaciones diferenciales  di   L = E − Ri − v  dt donde E, R, C y L son constantes. De un modo general, consideremos la siguiente ecuación diferencial de primer orden con condición inicial (también denominado problema de Cauchy): y 0 = f (t, y), y(t0 ) = y 0 t∈ I0 (1.2)    −C dv = f (v) − i dt

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CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

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donde I0 es un intervalo abierto en R el cual no se reduce a un punto, t0 ∈ I0 , y 0 ∈ Rm y f : R × Rm 7→ Rm es una función definida y continua en I0 × Rm . Resolver este problema significa encontrar una función continua y derivable sobre I0 con valores en Rm y que satisfaga justamente (1.2). Podemos ver a la ecuación(1.2) de un modo más extendido. Para tal objetivo, denotemos y = (y1 , y2 ..., ym ) ¡ 0 0 ¢ 0 y(t0 ) = y1 , y2 ..., ym f (t, y) = (f1 (t, y1 , y2 , ..., ym ) , ..., fm (t, y1 , y2 , ..., ym ))
0 donde yi : I0 7→ R, fi : I0 × Rm 7→ R y yi (t0 ) = yi , i = 1, 2, ..., m. Así, la ecuación (1.2) es equivalente al siguiente sistema  0  y1 = f1 (t, y1 , y2 , ..., ym )   0  y = f2 (t, y1 , y2 , ...,ym ) 2 (1.3) . .  .   0  y = f (t, y , y , ..., y ) m m 1 2 m

junto a las condiciones iniciales

0 0 0 y1 (t0 ) = y1 , y2 (t0 ) = y2 , ..., ym (t0 ) = ym

Las ecuaciones dadas anteriormente son de primer orden, ¿pero qué pasa con ecuaciones de orden superior? Consideremos ahora un probema diferencial de orden p: ¡ ¢ y (p) = f t, y, y 0 , ..., y (p−1) z1 = y, z2 = y 0 , ... , zp = y...