Econometria

Econometría II
Análisis de series temporales (II): Extensiones y metodología Miguel Jerez y Sonia Sotoca Universidad Complutense de Madrid p

Marzo 2010 M
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Índice
• Propiedades típicas de las series económicas • Transformaciones de datos • Operadores retardo y diferencia • Procesos generalizados • Extensiones • Metodología

Ver. 24/03/2010, Pag. # 2Propiedades típicas de las series económicas p p
700 600 Mile de personas es 500 400 300 200 100 0 1950 1952 1954 1956 1958 1960

Muchas series temporales económicas presentan: t • tendencia, • estacionalidad estacionalidad, • una variabilidad que crece con su nivel y • componentes deterministas (valores atípicos, ...)

Pasajeros de líneas aéreas, total mensual

Sin embargo, los procesos ARMAdescriben variables puramente estocásticas, no estacionales, con media y varianza constantes. Por tanto, para modelizar series económicas es necesario definir: • Transformaciones de datos diseñadas para estabilizar la media y la varianza de las series. • Extensiones de la familia de procesos ARMA, para captar tendencias y fluctuaciones estacionales.
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Transformaciones dedatos (I): Box-Cox ()
Muchas series temporales muestran una variabilidad que cambia con su nivel. Para eliminar esta característica se utiliza la transformación de Box-Cox:
yt
λ ,m

⎧ ( y t + m )λ − 1 ⎪ ⎪ si λ ≠ 0 =⎪ ⎨ λ ⎪ ⎪ln( y + m ) si λ = 0 ⎪ ( t ⎪ ⎩

Cada transformación se caracteriza por un valor del parámetro λ. Cuando la transformación requiere valores positivos, puede aplicarse uncambio de origen (parámetro, m) Para elegir la transformación adecuada puede usarse el gráfico media-desviación típica muestral de varias submuestras. La figura muestra las configuraciones correspondientes a diversos valores de λ. Las series económicas a menudo muestran una variabilidad que depende de forma aproximadamente lineal de la media. En ese caso, la transformación adecuada caso es lalogarítmica (λ=0)
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λ>0

λ=0 λ 0)
El operador diferencia se define a partir del operador retardo como:
0 −1

∇ / ∇y t = (1 − B )y t = y t − y t −1
En series estacionales de período S a menudo se utiliza una variante de este S, operador que se conoce como diferencia estacional:

∇S / ∇S y t = (1 − BS )y t = y t − y t −s

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Procesosgeneralizados (I): ARMA(p,q) g () (p,q)
Los procesos definidos anteriormente pueden escribirse con órdenes generales: • AR(p): zt = c + φ1zt −1 + φ2 zt −2 + … + φp zt −p + at • MA(q): zt = μz + at − θ1at −1 − θ2at −2 − … − θq at −q • ARMA(p,q): zt = c + φ1zt −1 + φ2 zt −2 + … + φp zt −p + at − θ1at −1 − θ2at −2 − … − θq at −q ( ) ... y expresarse en términos del operador retardo de la siguiente forma:• AR(p): φp (B ) zt = c + at • MA(q): zt = μz + θq (B ) at • ARMA(p,q): φp (B ) zt = c + θq (B ) at ... en donde los polinomios característicos de las partes AR y MA del modelo son: φp (B ) = 1 − φ1B − φ2B 2 − … − φpB p (polinomio AR) θq (B ) = 1 − θ1B − θ2B 2 − … − θq B q (polinomio MA)

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Procesos generalizados (II): Estacionariedad g ( )
Estacionariedad: Se diceque un proceso estocástico es estacionario si todas las raíces de la ecuación característica 1 − φ1B − φ2B 2 − … − φpB p = 0 están fuera del círculo de radio unidad d l plano complejo. í l d di id d del l l j La condición de estacionariedad sólo afecta a la componente AR del proceso ARIMA, ya que la componente MA siempre es estacionaria. Cuando el polinomio AR tiene alguna raíz igual a uno, sedice que tiene “raíces unitarias”. Consecuencias del cumplimiento: • El proceso tiene media y varianza incondicionales finitas y estables. • El proceso puede escribirse en forma MA equivalente. Consecuencias del no cumplimiento (raíces unitarias): C i d l li i t ( í it i ) • La varianza incondicional diverge a infinito. • Si tiene deriva, la media incondicional diverge a infinito. • El factor AR...