Econometría

ECONOMETRÍA I - ESTIMACIÓN MCO NIVELES
Profesora: M.D. Grandal Martín Dada la especificación y los datos siguientes:

yi = β1 + β 2 xi + ε i
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 yi 69 76 52 56 57 77 5855 67 53 72 64 xi 9 12 6 10 9 10 7 8 12 6 11 8

a) Estimar los parámetros por MCO. b) Calcular el coeficiente de determinación, R2. c) Estimar la varianza de las perturbaciones utilizando unestimador insesgado. d) Estimar la varianza de las perturbaciones utilizando el estimador de la máxima verosimilitud. e) Estimar la matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores. f) Calcular y dibujarlos residuos del modelo, y comentar si su examen podría sugerir la violación de alguna hipótesis del modelo de regresión.

SOLUCIÓN: a) Estimar los parámetros por MCO
-1 ˆ β = ( X ′X ) X ′y

donde:ECONOMETRÍA I - ESTIMACIÓN MCO NIVELES
⎛ ⎜ n ⎜ ( X ′X ) = ⎜ n ⎜ ∑ x ⎜ i ⎝i = 1 n ⎞ x ⎟ ∑ i i =1 ⎟ n 2⎟ ∑ x ⎟ i ⎟ i =1 ⎠ ⎛ n ⎞ y ⎟ ⎜ ∑ i ⎟ ⎜ ′y = ⎜ i = 1 ⎟ X n ⎜ ∑ xy ⎟ ⎜ i i⎟ ⎝i = 1 ⎠Sustituyendo por los valores numéricos:

( X ′X ) = ⎜
Por tanto:

⎛ 12 108 ⎞ ⎟ ⎝108 1020 ⎠

⎛ 756 ⎞ X ′y = ⎜ ⎟ ⎝ 6960 ⎠

−1 ˆ ⎛ β1 ⎞ ⎛ 12 108 ⎞ ⎛ 756 ⎞ -1 ⎜ ⎟ = ( X ′X ) X ′y = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜β ⎟ ˆ ⎝1081020 ⎠ ⎝ 6960 ⎠ ⎝ 2⎠

=

1 ⎛ 1020 −108 ⎞ ⎛ 756 ⎞ ⎛ 33.75 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ 576 ⎜ −108 12 ⎟ ⎝ 6960 ⎠ ⎝ 3.25 ⎠ ⎝ ⎠

La recta estimada es:

ˆ yi = 33.75 + 3.25xi
b) Calcular el coeficiente dedeterminación.

ˆ ˆˆ ε ′ε β ′X ′y − ny 2 R = 1− = (y - y)′(y - y) y ′y − ny 2
2

ECONOMETRÍA I - ESTIMACIÓN MCO NIVELES
Sustituyendo y operando:

( 33.75
R2 =

⎛ 756 ⎞ 2 3.25 ) ⎜ − 12 ⋅ ( 63) ⎟ ⎝6960 ⎠ = 0.5671 2 48522 − 12 ⋅ ( 63)

c) Estimar la varianza de las perturbaciones utilizando un estimador insesgado:

ˆ σ ε2 =
Sustituyendo y operando:

ˆ ˆˆ ε ′ε y ′y − β ′X ′y = n−k n−k

⎛756 ⎞ 48522 − ( 33.75 3.25 ) ⎜ ⎟ ⎝ 6960 ⎠ = 38.70 2 ˆ σε = 12 − 2

d) Estimar la varianza de las perturbaciones utilizando el estimador de la Máxima Verosimilitud:

% σ ε2 =
Sustituyendo y...