Ecuaci N De Segundo Grado

Ecuación de segundo grado
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Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = 0), las raíces, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado[1] [2] o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, esdecir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable, y donde a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representarmediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).
Índice
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1 Historia
2 Fórmula cuadrática
2.1 Discriminante
3 Ecuaciónbicuadrática
4 Clasificación
4.1 Teorema de Cardano Vieta
5 Véase también
6 Referencias
6.1 Enlaces externos
Historia[editar]
El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla.Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimientopara resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se habíaperseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.[cita requerida] Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de lasecuaciones de segundo grado.
Fórmula cuadrática[editar]
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

Se usa ±para indicar las dos soluciones:

y


[Expandir]Deducción de la solución
La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadrado:
La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que y la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:
Desde laecuación

Aislando n

Sumando a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Aislando y simplificando la fracción de la raíz

Simplificando a común denominador

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado


La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:
Partimos de nuestra ecuación simplificada:Pasamos al otro término :

Sumamos para obtener un binomio desarrollado:

El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro:

Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:

Moviendo y aplicando la raíz al denominador:

Simplificando a común denominador:

Discriminante[editar]

Ejemplo del signo del discriminante:
■ : sin soluciones...