Ecuaci n de tercer grado

Ecuación de tercer grado

Gráfica de una función cúbica.
Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es unaecuación algebraica de grado tres1 que se puede poner bajo la forma canónica:
,
donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.2
Índice  [ocultar] 
1 Función cúbica
1.1 Ecuación cúbica
1.2 Discriminante
2 El caso real
2.1 Raíces reales de la ecuación cúbica
2.2 Raíces múltiples
3 El caso general
3.1 Fórmula general
4 Ejemplos
4.1 Ejemplo 1
4.2 Ejemplo 2
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Función cúbica[editar]

Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los lugares donde lacurva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1y x3 = 2.
La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.
Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.
La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integraluna función cuártica.
Ecuacióncúbica[editar]
La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.
Discriminante[editar]
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas deanálisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: 3
Si , Entonces la ecuación tiene una raízreal y dos raíces complejas conjugadas.
Si , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
Si , entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.
El caso real[editar]
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales noes algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en , extensión algebraica cerrada de . La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante  sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funcionespolinomiales no constantes tienen límites infinitos en  y  y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.
También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al menos habrá una solución real.
Raíces reales de la ecuación cúbica[editar]
Partiendo de la ecuacióncanónica

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo ) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar .4La ecuación cúbica incompleta  posee tres raíces reales cuando el discriminante , pero donde  y  posee cualquiervalor y signo. Tales raíces se calculan como
 , para 
donde el signo positivo se usa si  y el signo negativo se usa si . Mientras que  está dada por

De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa , entonces podemos obtenerlas fácilmente como
 , para 
Raíces múltiples[editar]
En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir,...