ecuacion de euler cauchy

11. ECUACIÓN DE EULER-CAUCHY
Ecuación homogénea
Supongamos que deseamos obtener una solución de la ecuación:
ax2 y  bxy  cy  0

(11a)

Considerando que al derivar una potencia se obtiene otra de grado inmediato inferior, y
observando que la segunda derivada multiplicada por el cuadrado de la variable
independiente y la derivada multiplicada por la variable son semejantes con lafunción
misma, se propone, como una solución de la ecuación, una función de la forma:

y  xr

(11b)

Y tendríamos entonces que:
y   r x r 1 ,

y

(11c)

y   r (r  1) x r 2

(11d)

De esta manera, al sustituir (11b), (11c) y (11d) en (11a), obtenemos:
a x 2 y   b x y   c x y  a r (r  1) x r  b r x r  c x r  [a r (r  1)  b r  c] x r  0

Ya que buscamos unasolución no trivial de la ecuación homogénea, x r no debe anularse, y
tendremos entonces que, para que y  x r sea solución de (11a), deberá ocurrir que:
a r 2  (b  a) r  c  0

(11e)

Esta es la ecuación auxiliar de la ecuación de Euler-Cauchy.
Como en el caso de la ecuación lineal con coeficientes constantes, las dos soluciones
linealmente independientes pueden obtenerse a partir de lasraíces de la ecuación
(algebraica) auxiliar.
a) Raíces reales diferentes
Si las raíces de (11e) son los números reales r1 y r2 , con r1  r2 , entonces las funciones:

y1  x r1

y

y 2  x r2

(11f)

son dos soluciones linealmente independientes de (11a), de manera que la solución de la
misma será:
y  c1 x r1  c2 x r2

(11g)

b) Raíces reales iguales
Si el discriminante dela ecuación (11e) se anula, es decir, si (b  a) 2  4ac  0 ,
entonces sus raíces r1 y r2 son iguales entre sí, e iguales a:
r

 (b  a)
2a

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Maricarmen Hernández, Ismael Arcos. Ecuaciones Diferenciales. Guía del alumno

De manera que:
2a r  b  a  0

(11h)

La única solución de (1) obtenida de la ecuación auxiliar, será:
y1  r r

(11i)

Para obtener la segundasolución que sea linealmente independiente con y1 aplicamos
nuevamente el método de reducción de orden. Así pues, proponemos, como solución de
(1), la función:
y  v xr

(11j)

De donde: y   vx r  v r x r 1
y

(11k)

y   vx r  2 r vx r 1  r (r  1) v x r 2

(11l)

Al sustituir (10), (11) y (12) en (1), obtenemos:
a x 2 [vx r  2 r vx r 1  r (r  1) v x r 2 ]  b x(vx r  r v x r 1 )  c v x r  0 ,
[a r (r  1)  b r  c] v x r  (2 a r  b) vx r 1  a vx r 2  0

Considerando, ahora, por una parte, la ecuación (11e), tenemos que la expresión entre
corchetes se anula, y, por otra parte, de acuerdo con la ecuación (11h), 2ar  b  a , de
manera que la última ecuación queda:
a vx r 1  a vx r 2  0 ,
v  vx  0

(11m)

Haciendo, ahora,v  w , tenemos que v  w , y al sustituir en (11m) se obtiene:
dw
 w ,
dx

w  x w  0 ,

x

ln w   ln x  ln x 1 ,

w  x 1 ,

dv 1
 ,
dx x

dv 

dx
,
x

dw
dx
 ,
w
x
v  x 1 ,

v  ln x

Así pues, de acuerdo con (11j), una segunda solución de (11a), linealmente
independiente de y1  r r , será:
y 2  x r ln x

Por lo tanto, en caso de que eldiscriminante de la ecuación auxiliar se anule y las raíces
sean iguales a r, la solución de (11a) será:
y  c1 x r  c2 x r ln x

(11n)

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11. Ecuación de Euler-Cauchy

c) Raíces complejas
Finalmente, si el discriminante de la ecuación auxiliar es negativo, tendremos raíces
complejas. Si tales raíces son:

r1    i 

y

r2    i 

(11o)

Entonces, de acuerdo con (11f) y(11g), podemos asumir que el conjunto fundamental de
soluciones de la ecuación (11a) sea:
y  k1 x i   k 2 x i   k1 x x i   k 2 x x i 

Ahora bien, recurriendo a las propiedades de los exponentes y las funciones exponencial
i
y logarítmica, tenemos que x i  e ln x  e i ln x , así que podemos escribir, entonces:
y  k1 x [cos( ln x)  i sen ( ln x)]  k 2 x...