Ecuaciones de cauchy – riemann en coordenadas polares

0

TRABAJO PARA COMPLEMENTAR LA NOTA FINAL DE ANÁLISIS COMPLEJO

Por: JOSÉ VICENTE QUIMBAYA TORRES Código: 2007166639

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA FACULTAD DE EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS DICIEMBRE DE 2010 NEIVA

1

ECUACIONES DE CAUCHY – RIEMANN EN COORDENADAS POLARES

Primero recordemos que las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas cartesianas orectangulares son:
U x, y   V x, y  x y U x, y    V x, y  y x

, y,

Siendo f z   U x, y   iV x, y  ; para expresarlo en coordenadas polares, se procede:

Donde:

x  r cos 
y  r sin 

r  z  x2  y2

  Arg z   arctan 
   

 y x

2

Como entonces

f z   U x, y   iV x, y  ,

f rei  U r,   iV r ,  .

 Utilizando la regla de la cadena para campos escalares, obtenemos:
U r,   U x  U y 1. r x r y r

2. 3. 4.

U r,   U x  U y  x  y  V r,   V x  V y r x r y r V r ,   V x  V y  x  y 

En consecuencia, 1. 2. 3. 4.
U r,   U cos   U sin  r x y U r,   U  r sin    U r cos   x y V r,   V cos   V sin  rx y V r,   V  r sin    V r cos   x y

De 1. y 4. se obtiene: U r,   1 V r,  r r  De 3. y 2. se obtiene: V r,    1 U r,  r r 

“Son las ecuaciones en derivadas parciales Cauchy – Riemann (Coordenadas Polares)”

3

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA EN COORDENADAS POLARES (r, ϴ), DONDE:
r  z  x2  y2
Se sabe que:
f z   U x, y   iV x,y  ,

  Arg z   arctan  ; x

 y

   

y también,

f z  

U x, y   i V x, y  x x

(i)

Además, las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas polares

U r,   1 V r,  r r  V r,    1 U r,  r r 

Utilizando la regla de la cadena para campos escalares, obtenemos:

U x, y   U r  U  r x  x 1. x

V x, y  V r  V  r x  x 2. x
Calculando:
r 1 r cos   2x   cos  x 2 x 2  y 2 r

  x

y r sin  sin   y  2   2    2 2 r x y r  y  x  1   x 1
2

De 1. se obtiene:

4

U x, y   U cos  U   sin    U cos    r V   sin        x r   r  r r  r  

De 2. se obtiene:
V x, y   V cos  V   sin    V cos  r U   sin        x r   r  r r   r 

Por lo tanto,

U x, y   U cos  V sin  x r r
V x, y   V cos    U sin     x r  r 

(ii)

(iii)

Luego,

V  U   V  U  f  rei   cos   sin    i  r cos     r sin    ; reemplazando (ii) y (iii) en (i)  r  r    

 

V  U f  rei   i r  r

 V   U i  cos   i r   r

  sin  ; factor común seno y coseno. 

V   U f  rei  cos   i sin   i  r  ; factor común por agrupación de términos.  r

 

V  U f  rei  e i  i r  r

 

  ; se obtiene a partir de la identidad de Euler 

5

Ejemplos
1. Elaborar el cálculo de la derivada de la función compleja
f z   z n z C y n Z. , f  z   e z , z C

2. Elaborar el cálculo de la derivada de la función compleja

3. Elaborar el cálculo de la derivada de la función compleja f z   sin z , z C

Solución
1. Sabemos que:
z  rei ;

r  z  x2  y2

;

  Arg z   arctan 

 y x

   

n Reemplazando lo que sabemos en la función f z   z :

f z   rei

 

n

f z   rn ei n  ; Propiedad de las potencias para los números complejos. f z   r n cosn   i sinn  ; Identidad de Euler. f z   r n cosn   ir n sinn  ; Propiedad distributiva en los números

complejos. Luego,
U r ,   r n cosn 

U r,    nr n1 cosn  r V r,    nr n1 sinn  r

(ii)

V r,    r n sinn 

(iii)

6

Como,
V   U f z ...