Ecuacion de difusion

Modelización Numérica de la Atmósfera 2012

3. Ecuación de difusión
En este capítulo usaremos la ecuación de difusión como vehíçulo para introducir dos tipos de
esquemas: explícitos e implícitos.Se estudiará con especial atención la estabilidad y exactitud de los
esquemas. Desde un punto de vista computacional la ecuación de difusión contiene los mismos
mecanismos de disipación de los quese encuentra en problemas de flujos con viscosidad.
Consecuentemente, las técnicas computacionales que son efectivas para la ecuación de difusión
proveerán una guía para elegir algoritmos apropiadospara flujos viscosos.
3.1 Métodos explicítos
En los métodos explícitos aparece únicamente una sola incógnita, por ejemplo T n+1j, en el lado
izquierdo de la fórmula algebraica resultante de ladiscretización.
3.1.1 Esquema FTCS
Las propiedades de este esquema fueron estudiadas en el capítulo 2. La figura 3.1 muestra un
esquemático del esquema

Figura 3.1 – Esquema FTCS.
3.1.2 Esquema deRichardson y DuFort-Frankel
Richardson propuso una fórumla de diferencias finitas centrada en el espacio y centrada en el tiempo.
O sea, la ecuación de difusión queda
n1

n−1

T j −T j
2 tn

−

n

n

T j−1−2T j T j1
=0
2
x

(3.1)

A pesar de que el esquema es de O(Δx2,Δt2) un analisis de estabilidad de von Neumann indica que el
esquema es incondicionalmenteinestable para s>0, por lo que el esquema no tiene uso práctico. No

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obstante, ese esquema puede ser modificado para producir un algoritmo estable. Esto selogra
reemplazando Tnj en (3.1) por 0.5(T n+1+T n−1) . La ecuación resultante es
j
j
T n1−T n−1
T nj−1−T n1T n−1 T nj1
j
j
j
j
−
=0
2 t
 x2

(3.2)

La ecuación (5.2) seconoce como esquema de DuFort-Frankel y puede ser manipulada para dar el
siguiente algoritmo
T n+1 =
j

2s
1−2s n−1
(T n +T n )+
T
j+1
1+2s j−1
1+2s j

(3.3)

Notar que este esquema es...