ecuacion de primer grado


Guía Nº3: Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Definición: Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas de grado uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma , donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k es el términoindependiente (también un valor constante).
Un sistema de ecuaciones con dos variables, se representa de la siguiente manera:



En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
Si no tienesolución, se denomina imposible o incompatible.

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes.






Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos algebraicos:
Método de Igualación
Método de Sustitución
Método de Reducción

Para resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se debenseguir varios pasos:

Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtiéndolo en ecuaciones con coeficientes, constantes y variables o incógnitas.
Analizar el tipo de sistema que se obtiene.
Elegir un método de resolución y aplicarlo.
Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema.
Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas.Ejemplo1, Método de Igualación:

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:
,
Igualando las expresiones

, , ,

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2
Así el conjunto solución es





Ejemplo2, Método de Sustitución:

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejaruna incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra, así se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.


De la primera ecuación, se despeja la variable x, y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene:

, ,,

Sustituyendo este valor en x, se tiene que x = 2
Así el conjunto solución es

Ejemplo3, Método de Reducción:

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de los siguientes pasos:
Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismocoeficiente en ambas.
Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.
Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.



Conviene multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, y sumar ambas ecuaciones:


Sumando las ecuacionesReemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones
Así el conjunto solución es

Observación: Cualquiera que sea el método seleccionado para resolver un sistema de ecuaciones, siempre se obtendrá el mismo conjunto solución.

Ejercicios:
I) En cada caso resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, para ello selecciona el método que estimes conveniente. Recuerda ser ordenado (a) en tus...