Ecuaciones Algebraicas De Primer Grado

Ecuaciones algebraicas de primer grado

La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:
ax  +  b =  0
donde a y b son números reales y a ≠  0.  Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente elevada a la primera potencia.
Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas paramodificar ecuaciones:
1.- Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no varían.
2.- Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, no varían sus soluciones.
Ejemplo1:

Considérese la ecuación: 7x  –  4  =  3x  +  8
sumando 4 a ambos lados, se tiene: 7x  =  3x  + 12
restando 3x a ambos lados, se tiene: 4x  = 12
dividiendo entre 4 a ambos lados, luego: x  =  3
Ejemplo ilustrativo
1) 5y + 6y – 81  =  7y  + 102  + 65y

1)    5y + 6y – 81  =  7y  + 102  + 65y
11y – 81  =  72y + 102           agrupando términos semejantes
11y  =  72y + 102 + 81          sumando 81 a ambos lados
11y  =  72y + 183                 agrupando términos semejantes
11y – 72y = 183                  restando 72y a ambos lados
– 61y= 183                       agrupando términos semejantes
dividiendo entre – 61 ambos lados
Ecuaciones algebraicas de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la forma:
ax 2 +  bx + c =  0
donde a, b y c son números reales y a ≠  0.  Este tipo de ecuación se reconoce por tener la variable o incógnita elevada al cuadrado.
Una ecuación cuadrática tiene comomáximo tres términos, es decir existen ecuaciones de segundo grado que poseen uno, dos y tres términos. Debido a lo expuesto anteriormente, se ve claramente que hay cuatro formas distintas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función a sus términos, que son:
1.- b = 0 y c = 0                                      ax 2 =  0
2.- b = 0 y c ≠ 0                                      ax 2 +  c =  0
3.- b≠ 0 y c = 0                                      ax 2 +  bx =  0
4.- b ≠ 0 y c ≠ 0                                      ax 2 +  bx + c =  0
Primer caso: Dada ecuación ax 2 +  bx + c =  0,  si  b = 0  y  c = 0, entonces
ax 2 =  0; la solución es trivial, pues el único número que la satisface es x = 0.

Ejemplos: 1)  3x 2 = 0                2)   =0                 3)  – 3x 2 = 0

Segundo caso:Dada ecuación ax 2 +  bx  +  c =  0, si b = 0 y c ≠ 0, entonces
ax 2 + c =  0.  En cuanto a a y c, se presenta dos posibilidades, que son:
1.- a y c tienen igual signo
2.- a y c tienen diferente signo
1.- Si a y c tienen igual signo, la solución no pertenece a los números reales, pues la suma algebraica de dos términos (ax 2 + c) es diferente de 0.  La solución pertenece a los números complejos, yes:


Ejemplo ilustrativo
Resolver las ecuaciones:
1)  5x 2 + 10 = 0
1)  5x 2 + 10 = 0
Despejando la x, se tiene la solución compleja:
La solución es:

Tercer caso: Dada ecuación  ax 2 +  bx  +  c =  0, si b ≠ 0 y c = 0, entonces  ax 2 + bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión, factorizando la misma resulta:
ax 2 + bx = 0   →     x( ax + b ) = 0
y para que el producto de dosnúmeros valga 0, es necesario que uno de ellos sea 0, por consiguiente x  =  0      o     ax + b =  0
la primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de primer grado: ax + b =  0
restando b a ambos lados, se tiene ax  =  – b
dividiendo entre a x  =  – b / a
Ejemplo ilustrativo
Resolver las ecuaciones:
1)  9x 2 + 36x = 0
Solución:
1)  9x 2 + 36x = 0
Sacando factorcomún x, x( 9x + 36 )  =  0
Luego      x = 0      O 9x + 36 = 0
Por consiguiente la soluciones son x = 0  y  x = – 4
Cuarto caso: Dada ecuación ax 2 +  bx  +  c =  0, si b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces
ax 2 + bx + c = 0.  Para resolver ecuaciones de este tipo, se requiere de un estudio especial, cuyo procedimiento de describe a continuación:
Sea ax 2 + bx + c = 0, se resolverá esta ecuación para x en...