ECUACIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES ALGEBRAICAS
Publicado el 27/12/2009 de profbaptista
Introducción
Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la palabra igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática.  Pero describir tal palabra puede no ser tan sencillo como parece.  Cuando se escribe:
= 1
no significa que el símbolo de la izquierda coincide con el de la derecha.  Encambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo representan al mismo número.   Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual en matemática.
A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo =.   Cuando se escribe:
y   
Se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas en mente.  En el primer caso,  se está haciendo una afirmación.  Se afirma queno importa qué número representa x, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha de la igualdad, representan al mismo número.  Este no puede ser el significado que debe dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la cual es: ¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la igualdad  x 2 – 9 = 0 representen al mismo número?
Una igualdad que es verdaderapara todos los valores de la variable, se llama identidad.  Aquella que es válida sólo para algunos valores, recibe el nombre de ecuación condicional.   Otra gran diferencia entre estas dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones).   Ambas son operaciones  muy importantes en matemática; sin embargo,  parte de la segundaes la que se estudiará en este capítulo.
Son algunos ejemplos de identidades, las expresiones:

1)   6 + 11 – 5  =  12
2)   x + 7  =  7 + x
3)  ( x 2 – 1 ) 2 =  x 4 – 2x 2 + 1
4)  2x + 4 – 5x  =  1 – 3x + 3

Son algunos ejemplos de ecuaciones, las expresiones:

1)   x  –  15  =  12
2)   x 2 + 7x  =  – 6

3) 4) 
Cuando la variable se sustituye por un número específico, el resultado puede serverdadero o falso.  Si es cierto, el número constituye una solución o raíz de la ecuación.  El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación.  Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación.
Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de x son iguales.  Es costumbre llamar a la variable deuna ecuación incógnita.
Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección.  Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la ecuación:
x – 5  =  10
tiene por raíz a  x = 15.  Por otro lado, resolver la ecuación:
x 2 – 11x + 10 = 0
Es ya un problema distinto.  Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario usar ciertos recursos.  La estrategia general esmodificar una ecuación paso a paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata.  Desde luego, hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no cambiar las soluciones.  En general, se usa el concepto de ecuaciones equivalentes, que son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones.  Por ejemplo, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes:

4x – 20  =  0             4x =20             x = 5

Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable.  El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones:

4x – 20  =  0       es de primer grado
x 2 – 11x + 10  =  0      es de segundo grado
y 3 + 2y 2 – y – 2  =  0       es detercer grado
t 4 – 5t 2 + 4  =  0       es de cuarto grado

Hay ecuaciones algebraicas en las que, existen términos que contienen expresiones racionales, como por ejemplo:


A este tipo de ecuación se le conoce como ecuación racional.
Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variable dentro uno o más radicales, llamadas ecuaciones irracionales.  Por ejemplo,


En este capítulo se...