Ecuaciones Cuadraticas

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede escribirse en la forma
f (x) = ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a / 0.

Por ejemplo las funciones f (x) = x2 – 3x + 2 y F (t) = -3t2 son cuadráticas. Sin embargo, g (x) = 1 no es cuadrática, ya que no puede escribirse de la forma
x2
g (x) = ax2 + bx + c.La gráfica de la función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c se llama parábola. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, entonces la parábola abre hacia abajo.

Parábola y = f (x) = ax2 + bx + c



a > 0 abre hacia arriba a < 0 abre hacia abajo

Cada parábola en la figura es simétrica con respecto a unarecta vertical, llamada el eje de simetría de la parábola. Esto es si la página fuera doblada en una de estas rectas, entonces las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían.

La figura también muestra puntos marcados como vértice, donde el eje corta a la parábola. Si a > 0, el vértice es el punto “más bajo” de la parábola. Esto significa que f (x) tiene un valor mínimo en ese punto.Si hacemos manipulaciones algebraicas sobre ax2 + bx + c (lo que se conoce como completar el cuadrado), podemos determinar no sólo este valor mínimo, sino también en dónde ocurre. Tenemos:

F (x) = ax2 + bx +c = (ax2 + bx) + c.
Sumando y restando b2 se obtiene
4a

f (x) = ax2 + bx + b2 + c – b2
4a 4a

= a x2 + b x + b2 + c– b2
a 4a2 4a

De modo que

f (x) = a x + _b_ 2 + c – _b2
2a 4a

Puesto que x + _b_ 2 > 0 y a > 0, se sigue que f (x) tiene un valor mínimo
2a
Cuando x + _b_ = 0, esto es, cuando x = - _b_, la coordenada y correspondiente
2a2a
A este valor de x es f - _b_ . Así el vértice está dado por
2a

Vértice = - _b_ , f - _b_
2a 2a

Este también es el vértice de la parábola que abre hacia abajo ( a < 0), pero en este caso f - _b_ es el valor máximo de f (x).
2a

El punto en donde la parábola y = ax2+ bx + c intersecta al eje y (esto es, la intersección y) se da cuando x = 0. La coordenada y de este punto es c, de modo que la intersección con el eje y es (0,c) o, simplemente, c. En resumen tenemos lo siguiente

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA

La gráfica de la función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c es una parábola.

1. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, abre haciaabajo.

2. El vértice es - _b_ , f - _b_
2a 2a

3. La intersección y es c.
Ejemplo: Graficación de una función cuadrática

Graficar la función cuadrática y = f (x) = - x2 – 4x + 12.

Aquí a = -1, b = -4 y c 0 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y, por lo tanto, tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es

-_b_ = _- 4_ = - 2
2ª 2(-1)

La coordenada y es f (-2) = - (-2)2 – 4 (-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (- 2, 16) de modo que el valor máximo de f (x) es 16. Ya que c = 12, la intersección y es 12. Para encontrar las intersecciones x, hacemos y igual a 0 en y = - x2 – 4x + 12 y resolvemos para x:

0 = - x2 – 4x +12
0 = - (x2 + 4x- 12)
0 = - (x + 6) (x – 2)

Así x = - 6 o x = 2, de modo que las intersecciones x son – 6 y 2. Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intersecciones. Como (0, 12) está a dos unidades a la izquierda del eje con la misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (- 4 ,12). Al unir todos los puntos, trazamos una parábola que abre hacia abajo.



Gráfica de la parábola y = f...