Ecuaciones Cuadraticas

Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.

LaPropiedad Cero de la Multiplicación

La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.

Propiedad Cero de la Multiplicación

Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0.


Esta propiedad puede parecer obvia, pero tieneimportante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.

Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.

Ejemplo
Problema

Resolver a en 5a2 + 15a = 0



5a2 + 15a = 0

El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación

5(a2 + 3a) = 0

5 es factor común de 5a2 y 15a.

5a(a + 3) = 0

a es factor común un dea2 y 3a.





En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación.

Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que serigual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.


5a = 0 a + 3 = 0

Igualar cada factor a cero

a + 3 – 3 = 0 – 3

a = 0 a = -3


Resolver la ecuación
Solución
a = 0 o a = -3



Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también sellaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.

Comprobando a = 0
Comprobando a = -3
5a2 + 15a = 0
5a2 + 15a = 0
5(0)2 + 15(0) = 0
5(-3)2 + 15(-3) = 0
5(0) + 0 = 0
5(9) – 45 = 0
0 + 0 = 0
45 – 45 = 0
0 = 0
0 = 0

Sustituir estos valores en laecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.

Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.


Ejemplo
Problema
Resolver r.
r2 –5r + 6 = 0.



r2 – 3r – 2r + 6 = 0


Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.

(r2 – 3r) – (2r – 6) = 0


Agrupar términos

r(r – 3) – 2(r – 3) = 0


Sacar los factores comunes de cada grupo

(r – 3)(r – 2) = 0

Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor

r – 3 = 0
r – 2 = 0
Usar la Propiedad Cero de laMultiplicación para igualar cada factor a 0

r = 3
r = 2
Resolver la ecuación
Solución

r = 3 o r = 2

Las raíces de la ecuación original son 3 o 2

La solución de esta ecuación es r = 2 o r = 3, ya que ambos valores de r resultarán en una expresión válida. (¿Escéptico? Sustituye r por los valores 2 y 3 en la ecuación original. Te esperamos.)

Resolver h:

h(2h + 5) = 0

A) h = 0

B) h = 2...