Ecuaciones Cuadraticas

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Ecuaciones Cuadráticas

 
1.- ¿Qué es una ecuación?
2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática?
3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
4.- Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones
6.- Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

1.- ¿Qué es una ecuación?
Esuna expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:
La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple paraX = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)
Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, undespeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.
2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto serequiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es lallamada fórmula resolvente:
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La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer laraíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.
Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.
4.- Tipos de soluciones: Reales eimaginarias
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:
* Dos raíces reales distintas
* Una raíz real (o dos raíces iguales)
* Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:
D = b2 - 4.a.c |
Si el discriminante espositivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas
Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.
5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones
A continación se resolverán algunos ejemplos quemostrarán todos los casos posibles ya mencionados.
5.1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:
| = | | = | |   |
Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o...