ecuaciones cuadraticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método de fórmula general
Ahora vamos a utilizar el método infalible.
La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación
cuadrática.
Fórmula General
La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es la siguiente:
√
−b ± b2 − 4 ac
x=
2a

Definición
1

donde a, b, c son los coeficientes de laecuación cuadrática: a x2 + b x + c = 0.
Para resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general, primero debemos identificar los valores de los coeficientes.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 1

x2 + 2 x − 1 = 0

• Observa que en este caso no podemos hacer la factorización, porque:
 El trinomio cuadrado no es perfecto, y
 No hay dos números enteros que sumadosden 2 y multiplicados den −1.
• En estos casos, la fórmula general es la que nos salva.
• Los coeficientes en este caso son: a = 1, b = 2, y c = −1.
• Vamos a sustituir los coeficientes en la fórmula y después realizamos los cálculos que quedan
indicados.
√
−b ± b2 − 4 ac
x =
2a
−(2) ± (2)2 − 4 (1)(−1)
=
2 (1)

=
=

−2 ±

4 − (−4)
2
√
−2 ± 8
2

• Podemos ver que el radicandopuede ser factorizado como 8 = 23 = 2 · 22 , y después,
simplificar:
√
−2 ± 2 · 22
x =
2√
−2 ± 2 2
=
2

www.aprendematematicas.org.mx

1/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Y ahora podemos simplificar, dividiendo entre dos:
x=

=
=

√
2 2 2
¡ ¡
− ±
2
2
¡ √¡
−1 ± 2

• Y las soluciones de la ecuación cuadrática son:

√
= −1 + 2
√
= −1 − 2

x1
x2

• Paraverificar que las soluciones de la ecuación cuadrática son correctas podemos utilizar el
método de factorización.
• Al sumar las raíces debemos obtener el negativo del coeficiente del término lineal, y al
multiplicarlos, debemos obtener término independiente.

x1 + x2 = −2

⇒

( x1 )( x2 ) = −1

⇒

Sugiera que
apliquen
producto conjugado
para la multiplicación.

√
√
&
&
−1 + &2 + −1 −&2
√
√
−1 + 2 · −1 − 2

En la comprobación tanto la suma de las raíces como la multiplicación son muy sencillas.
Para realizar la multiplicación de una manera sencilla aplica el producto de binomios conjugados:
el resultado es una diferencia de cuadrados.
Reto 1

Explica por qué la suma de las raíces debe ser igual al negativo del coeficiente del término lineal
Resuelve la siguienteecuación cuadrática:

Ejemplo 2

5 x2 + 57 x − 36 = 0

• Esta ecuación sí se puede resolver por el método de factorización, pero sería muy laborioso.
• Preferimos usar el método de la fórmula general:
√
−b ± b2 − 4 ac
x =
2a
−(57) ± (57)2 − 4 (5)(−36)
=
2 (5)

=
=

3249 − (−720)
√ 10
−57 ± 3969
10

−57 ±

www.aprendematematicas.org.mx

Profesor:

2/12

Profr. EfraínSoto Apolinar.

• El número 3969 = 632 , así que podemos simplificar el radicando:
√
−57 ± 632
x =
10
−57 ± 63
=
10
• Ahora encontramos las dos raíces:
x1

=

x2

=

−57 + 63
6
3
=
=
10
10
5
−57 − 63
−120
=
= −12
10
10

• Esto quiere decir que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera equivalente:

( x + 12) x −

3
5

=0

• Y al multiplicar amboslados de la igualdad por 5, obtenemos una ecuación equivalente que
no incluye fracciones:
( x + 12)(5 x − 3) = 0
• Ahora que conoces la factorización, se te queda como ejercicio multiplicar los binomios
para verificar que las ecuaciones son equivalentes y después realizar la comprobación sustituyendo las raíces en la ecuación.

Algunas veces encontraremos ecuaciones que al simplificarse, sereducen a una ecuación cuadrática.
En estos casos, después de haber expresado la ecuación en la forma (??), debemos reconocerla
como tal y proceder a su solución por cualquiera de los métodos que ya hemos estudiado.
Resuelve la siguiente ecuación:
5
1
−
=3
x+2 x−2

Ejemplo 3

• Esta ecuación, para empezar, ni siquiera parece cuadrática.
• Vamos a simplificarla, para ver si podemos...