ecuaciones cuadraticas

ECUACIONES CUADRÁTICAS
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra)


Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es uncuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
En esta a=2, b=5 y c=3

Aquí hay una un poco más complicada:
• ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"
• b=-3
• ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
• si es positivo, hay DOSsoluciones
• si es cero sólo hay UNA solución,
• y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de a, b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0
Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a
Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a, b, c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] /2×5
Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10
Respuesta: x = -0.2 and -1
(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar enuna:
Disfrazadas Qué hacer En forma estándar a, b y c
x2 = 3x -1 Mueve todos los términos a la izquierda x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla paréntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3 Desarrolla paréntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

Derivación de la fórmula cuadrática
Esta es la forma deuna ecuación cuadrática:

Y se puede resolver con la fórmula cuadrática:

Esta fórmula parece mágica, pero ahora puedes seguir los pasos para ver de dónde viene.
1. Completar el cuadrado
Es difícil manejar una ecuación donde "x" aparece dos veces, pero hay una manera de arreglarla para que "x" aparezca una sola vez. Se llama "completar el cuadrado" (¡por favor léelo primero!).
Vamos aaprovechar lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2
(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 + 2dx + d2
Así que si podemos poner la ecuación en la forma:
x2 + 2dx + d2
Entonces la podemos reescribir así:
(x+d)2
Y esto hará el resto del trabajo más fácil

Vamos:
Empezamos con
Dividimos la ecuación entre a
Pasamos c/a al otro lado
Sumamos (b/2a)2 a los dos lados

¡Ajá!tenemos el formato x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(en este caso "b/2a" es el valor de "d")
"Completar el cuadrado"

2. Ahora resolvemos "x"
Ahora vamos a reordenar la ecuación para dejar "x" a la izquierda
Empieza por
Raíz cuadrada
Mueve b/2a a la derecha

¡Ya está resuelto! Pero vamos a simplificar un poco:
Multiplicamos a la derecha por 2a/2a
Simplificamos:

Y esta es lafórmula cuadrática que conocemos y que tanto nos gusta:


Completar el cuadrado
"Completar el cuadrado" es cuando...
... tenemos una ecuación cuadrática como:
y la ponemos en esta forma:
ax2 + bx + c = 0 a(x+d)2 + e = 0

Para los que tengáis prisa, os puedo decir ya que: , y:

Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.
La pista
Primero tengo que...