Ecuaciones De 2Do Grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Una ecuación expresada como:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son constantes números reales y a ≠ 0, se llama ecuación polinomial de segundo grado o ecuación cuadrática de la variable x. El término “cuadrática” proviene de cuadrado, en su significado de segunda potencia. A esta ecuación también se le conoce como la formaestándar o normal de la ecuación de segundo grado con una incógnita. Al término ax2 se le conoce como el término cuadrático, a bx como el término lineal y a c como término independiente.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:
(1). 6x2 + 7x – 3 = 0 donde a = 6, b = 7 y c = – 3.
(2). X2 – 7 = 0 donde a = 1, b = 0 y c = – 7
(3). 3x2 – 4x = 0 donde a = 3, b = – 4 y c = 0.
Son tres las formas enque se presenta la ecuación de segundo grado. La ecuación completa es la que tiene sus tres términos: el cuadrático, el lineal y el independiente, como el ejemplo (1). La incompleta pura es aquella cuando carece del término lineal, como en el ejemplo (2), y la incompleta mixta es aquella cuando carece del término independiente, como en el ejemplo (3).
Toda ecuación de segundo grado tiene dosraíces, el carácter de dichas raíces lo determina el discriminante, pero esto se tratará en un tema posterior. En la mayoría de las ecuaciones cuadráticas, la solución consiste en obtener una raíz positiva y una raíz negativa. A la raíz positiva se le llama raíz principal. Cuando en un problema verbal, la solución implique resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita, normalmente serechaza la raíz negativa y se acepta la raíz positiva, es decir la raíz principal.
Para resolver una ecuación cuadrática, los métodos más usados son: por factorización (cuando es posible) y por fórmula general, la cual equivale al método de completar a un trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que la ecuación de la cuadrática o fórmula general es:

[pic]

EJEMPLOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS CONUNA INCÓGNITA.

1. Resolver para x en la siguiente ecuación, es decir, hallar el conjunto solución.

[pic]
Solución.
Multiplicando cada término de la ecuación por su mínimo común múltiplo, el cual es x (x + 2):
[pic] ( 3x2 = (x + 2)(x + 4) ( 3x2 = x2 + 6x + 8 (

3x2 – x2 – 6x – 8 = 0 ( 2x2 – 6x – 8 = 0 dividiendo entre 2 cada término:

x2 – 3x – 4 = 0factorizando: (x – 4)(x + 1) = 0 por el Teorema del Factor Cero:

x – 4 = 0 ( x1 = 4 ; x + 1 = 0 ( x2 = – 1

Finalmente el conjunto solución es:
{ 4, – 1 }

2. Resolver para x en la siguiente ecuación, es decir, hallar el conjunto solución.


[pic]
Solución.
Multiplicando cada término de la ecuación por su mínimo común múltiplo, el cual es(2)(3x):
[pic] ( (3x)(2x – n) = (2)( 2nx – n2 ) (
6x2 – 3xn = 4nx – 2n2 ( 6x2 – 3nx – 4nx + 2n2 = 0 ( 6x2 – 7nx + 2n2 = 0
Factorizando:
(3x – 2n)(2x – n) = 0 por el Teorema del Factor Cero:
3x – 2n = 0 ( [pic] ; 2x – n = 0 ( [pic]
Finalmente el conjunto solución es:
[pic]

3. Resuelve el siguiente problema verbal usando una ecuación de segundo grado.
Enabril de 1996, Ana Rosa compró cierto número de caballos en $15300.00. En abril de 1997 se le murieron cuatro caballos y tuvo que vender cada uno de los que le quedaban en $150.00 más de lo que le costó cada uno. Con esta operación ella perdió en total $1650.00 de su inversión. ¿Cuánto le costó cada caballo a Ana Rosa en abril de 1996?¿en cuánto vendió cada caballo en abril de 1997?¿cuántoscaballos compró ella en abril de 1996?
Solución.
Sea x = número de caballos comprados en abril de 1996.

Entonces [pic].
Además x – 4 = número de caballos que le quedaron en abril de 1997.
Así la ecuación es:

[pic]
Sustituyendo:
[pic]

[pic] por x cada término:

(x – 4)(15300 + 150x) = 13650x

15300x + 150x2 – 61200 – 600x – 13650x = 0

150x2 +...