Ecuaciones de hamilton jacobi

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ECUACIÓN DE HAMILTON – JACOBI

La ecuación de Hamilton-Jacobi representa la formulación más potente de la mecánica clásica, y que de hecho proporciona el puente entre la mecánica clásica y lacuántica. En un sistema mecánico de [pic]grados de libertad, representado por el hamiltoniano [pic]
la forma general de la ecuación de Hamilton-Jacobi es
[pic]
donde [pic] son [pic]constantes delmovimiento, que se determinan mediante las condiciones iniciales.

La formulación basada en EHJ es la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula y el de una onda sedescriben en los mismos términos. Es por esto que la EHJ constitute una meta largamente perseguida de la física teórica, desde Johann Bernoulli en el siglo XVIII buscó una analogía entre la propagación deondas y partículas.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es consecuencia directa de las ecuación de Hamilton, y se deduce utilizando el método de las transformaciones canónicas.

Se busca pasar de ungrupo de coordenadas (q,p), a otro(Q,P), tales que las Qi sean cíclicas.

Se busca pasar de las coordenadas qi y los momentos pi que posee un sistema en un instante, a las coordenadas q₀ y p₀ queposee un sistema en un instante t=0,donde las coordenadas que se transforman lo hacen en unas cantidades constantes .

Estas ecuaciones de transformación tendrán la forma:q=q(q₀,p₀,t)

p=p(q₀,p₀,t)

La condición que han de satisfacer las nuevas coordenadas q₀ i y p₀ i, que desde ahora llamaremos Q y P, para que sean constantes, es que lahamiltoniana transformada, esto es, la kamiltoniana K, cumpla que:

[pic]

[pic]

Podemos asegurar esto si K es idénticamente nula. Recordando ahora cómo estaban relacionadas H y K:

[pic]entonces si :

[pic] [pic]…………………(*)

Donde [pic] sera por conveniencia [pic] ,aquella funcion generatriz de tipo 2 donde interesa que la cantidad de movimiento transformada...
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