Acerca Del Formalismo De Hamilton-Jacobi Para LagrangiaNos No Estandar

Acerca del formalismo de Hamilton-Jacobi para lagrangianos no estandar
W.E Clavijo, A.I. Valencia Departamento de fisica, Universidad Nacional de Colombia.

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Introducci´n o

Algunos sistemas fisicos pueden ser descritos por un lagrangiano convencional, en donde este puede expresarse como la suma de la energ´ cin´tica asociada a cada uno de los grados de libertad del sistema, menos eltermino que ıa e esta asociado con la energ´ potencial, ya sea de naturaleza gravitacional, el´stica, de caracter electromagn´tico o ıa a e en general de las tres. Sin embargo existen sistemas f´ ısicos en donde no es posible expresar el lagrangiano asociado como la suma de energ´ cin´tica mas energ´ potencial. Los primeros reciben el nombre de lagrangianos estandar ıa e ıa y los segundo el delagrangianos no estandar. El problema de encontrar el lagrangiano asociado a una ecuacion de movimiento es llamado problema de Helmholtz, y esto requiere de resolver las ecuaciones de Helmholtz Este problema tiene un gran alcance porque la mec´nica cuantica disipativa puede ser cuantizada si se conoce el lagrangiano asociado a al sistema. Z.E. Musielak hace un trabajo acerca del problema de encontrarlagrangianos no estandar para sistemas disipativos: ”‘General Conditions for the existence of non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems”’.All´ ı es estudiada una forma particularmente simple de lagrangiano L(x, x, t) = ˙ 1 p(x, t)x + q(x, t)x + r(x, t) ˙ (1)

que genera a trav´s de las ecuaciones de Euler-Lagrange ecuaciones de movimiento cuyos coeficientes en la posicion y e suprimera y segunda derivadas estan acompa˜adas de coeficientes que pueden variar con el tiempo y con la posicion. n x + P (x, t)x2 + Q(x, t)x + R(x, t)x = F(t) ¨ ˙ ˙ (2)

De all´ se concluyen algunas generalidades acerca del comportamiento y de las relaciones que deben cumplir estos ı coeficientes para que la forma del lagrangiano escogido satisfaga la ecuacion de movimiento. Ademas de estudiar estascondiciones de existencia para el lagrangiano, se hace un muy breve estudio de las condiciones bajo las cuales los lagrangianos no estandar trabajados por Musielak admiten una descripcion y una solucion a trav´s de la teoria de e Hamilton-Jacobi(H-J).

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Sistemas din´micos con coeficientes dependientes del tiempo a

Primero se consideran sistemas descritos por la ecuacion (1) con P (x, t) =0, Q(x, t) = B(t), R(x, t) = C(t), F(t) = 0 La ecuacion resultante es x + B(t)x + C(t)x = 0 ¨ ˙ El autor propone lo siguiente: • La ecuacion de movimiento x + B(t)x + C(t)x = 0 ¨ ˙ puede ser derivada del siguiente lagrangiano no estandar L(x, x, t) = ˙ 1 f (t)x + g(t)x + h(t) ˙ (5) (4) (3)

donde B(t), C(t), f (t), g(t) son funciones derivables y continiuas, si y solo si, f (t) = exp Ia (t) (6)1

g(t) = donde

2 1 B(t) − u(t) 3 2
t

(7)

Iu (t) = y u(t) es soluci´n de la siguiente ecuaci´n de Riccati o o

˜ ˜ u(t)dt

(8)

1 2 1 ˙ u + u2 − uB(t) − B 2 (t) + 2B(t) − 3C(t) = 0 ˙ 3 3 3 y para h(t) se cumple que 1 2 h = exp − IB (t) + Iu (t) 3 3 Esto puede ser probado aplicando ecuaciones de Euler-Lagrange para el lagrangiano propuesto ∂L −f = 2 ∂x ˙ [f x + gx + h] ˙ ∂L −g= 2 ∂x ˙ [f x + gx + h] ˙
2 −f˙ [f x + gx + h] + 2f [f x + gx + h] f˙x + f x + gx + g x + h ˙ ˙ ˙ ¨ ˙ ˙ ˙ d ∂L = 4 dx ∂ x ˙ [f x + gx + h] ˙

(9)

(10)

(11) (12)

(13)

La ecuacion de movimiento es ˙ −f˙f x − f˙gx − f˙h + 2f f˙x + 2f x + 2f g x + 2f g x + 2f h = −gf x − g 2 x − gh ˙ ˙ ¨ ˙ ˙ ˙ ˙ 2f 2 x + −f f˙ + 2f f˙ + 2f g + gf x + −f˙g + 2f g + g 2 x + gh − f˙h + 2f h = 0 ¨ ˙ ˙ ˙2f˙2 x + f˙f + 3f g x + g 2 + 2f g − f˙g x + gh − f˙h + 2f h = 0 ¨ ˙ ˙ ˙ f˙ g g ˙ f˙g gh f˙h h g˙2 +3 x+ ˙ + − 2 x+ − 2+ =0 2 2 2f 2f 2f f 2f 2f 2f f (14)

(15) (16)

x+ ¨

(17)

Este es el resultado al que llega el Musielak, y es una condicion para determinar el valor de h. Las condiciones para B(t) y C(t) son las mismas que en el caso h(t) = 0 B(t) = C(t) = Tomando 3g f˙ + 2f 2f (18) (19)...