Ecuaciones De Laplace Y De Poisson

Ecuaciones de Laplace y de Poisson
En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico ymatemático Pierre-Simon Laplace.
Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, laelectrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica. ∆ .u=0
donde ∆ representa el operador Laplaciano
En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, unafunción de variables reales x, y, y z, tal que
En coordenadas cartesianas

En coordenadas cilíndricas,

En coordenadas esféricas,

Otra clase de problemas en los que la ecuación de Laplace juega unpapel
importante es el relacionado con los campos vectoriales que derivan de un potencial
(electro magnético, gravitatorio, etc.). En estos casos, si en la región donde se
quiere obtener el potencialno hay fuentes de campo, éste verifica la ecuación de
Laplace. Si por el contrario, existe una cierta densidad de éstas, el potencial verifica
la correspondiente ecuación de Poisson.

En matemática yfísica, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físicofrancés Siméon-Denis Poisson.
La ecuación de Poisson se define como:

donde es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianastridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace











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