ecuaciones de maxwell

Ecuaciones de Maxwell
Maxwell equations


Recibido martes 4 Noviembre de 2014
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Resumen
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos, siendo así es importante resaltar el aporte de James Clerk Maxwell, quien logro reunir estas ecuaciones además de dedicarse por muchos años al estudio y obtensionde resultados experimentales debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, con el fin de introducir los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnetico.
Palabras claves: James Clerk Maxwell, campo electromagnético.
Abstract
Maxwell equations are a set of four equations which fully describedelectromagnetic phenomena. The biggest contribution of James Clerk Maxwell was collect this equations, in long years of experimental results owning to Coulomg, Ampere, Faraday and others, introducing the concepts field and stream of displacement and unifying electric and magnetic field in one concept: the electromagnetic field.
Keywords: James Clerk Maxwell, electromagnetic field.
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1. Introducción
Las ecuciones de maxwell vistas en su forma general son:
∇ ∙ D = ρ∇ x E = -∂B∂t∇ ∙ B =0 ∇ x H = j+ ∂D∂t2. Ecuaciones de maxwell en medio materiales
Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que estos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar unarelación entre los vectores como: intensidad eléctrica e inducción magnética a través de dos parámetros conocidos como permitividad magnética, esta definida como:
D= ƐE = Ɛo ƐrE
B= μ H= μoμrHPero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E / D y B / H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir queƐ y µ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque la matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función Ɛ (x, y, z), si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, elmedio es homogéneo.
Los valores de Ɛ y µ en medios lineales, no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de laposición. Los medios anisótropos son tensores.
3. Demostracion de las ecuaciones de maxwell en forma diferencial e integral
3.1 Ley de Gauss
3.1.1 Forma diferencial
La carga encerrada Qenc, puede determinarse mediante una sumatoria si se trata de cargas puntuales, o mediante una integración si se trata de distribuciones continuas. En este ultimo caso
Qenc = Voρdτ
Pero si la sustituimos porla definición de carga encerrada se tiene
SoE∙ds= 1εo VoρdτAplicando el teorema de la divergencia (teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida netode una región), al primer miembro de la ecuación anterior
Vo( ∇ ∙ E dτ= 1εo Voρ dτ
Dado que esta igualdad debe cumplirse para un volumen Vo cualquiera, necesariamente los integrandos de ambos miembros deben ser iguales, se tendrá entonces,
∇ ∙ E= ρεo3.1.2 Forma integral
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse:
Φ= dVE ∙dA = 1εoVρ dV =...