Ecuaciones de maxwell

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FÍSICA II
Profesor Javier González Estévez
• Introducción

Las Ecuaciones de Maxwell

Estableciendo una analogía con la Mecánica de Newton, se desea identificar el conjunto más pequeño y compacto de ecuaciones o leyes que definiesen el tema en la forma más completa posible. En el caso de la Mecánica Newtoniana esto se lograba con las tres leyes del movimiento de Newton. Haremos acontinuación algo similar con el electromagnetismo (EM). • Ecuaciones (provisionales) básicas del EM

Veamos la siguiente tabla: Tabla I Ecuaciones provisionales básicas del EM N° III

N° I

r r ε 0 ∫ E ⋅ dA = q
r r B ⋅ dA = 0 ∫

Ecuación

II

IV

r r d E ⋅ dl = − Φ B ∫ dt r r B ⋅ dl = μ 0 I , (incompleta) ∫

Ecuación

Quedará demostrado que el término faltante no es una correccióninsignificante, sino que completará la descripción del electromagnetismo y además establecerá a la óptica como una parte integral del EM. Analizando las ecuaciones de Maxwell (los miembros izquierdos): N° I II Miembro izquierdo

r r ε 0 ∫ E ⋅ dA r r B ⋅ dA ∫

N° III IV

Miembro izquierdo

r r E ⋅ dl ∫r r ∫ B ⋅ dl

r Integrales de superficie de E y r B calculadas en superficies cerradas

↑ ↓↑ ↓

Integrales de línea de E y B calculadas en trayectorias cerradas

r

r

SON COMPLETAMENTE SIMÉTRICOS, TOMADOS POR PAREJAS En los miembros derechos de estas ecuaciones, los términos NO son simétricos y, de hecho, hay dos tipos de asimetrías que se estudiaran por separado: • Primera asimetría

Está relacionado con el hecho aparente de que aunque existen centros aislados de carga(por ejemplo, electrones y protones) no parecen existir centros aislados de magnetismo (monopolos magnéticos). N° I

r r ε 0 ∫ E ⋅ dA = q

Ecuación

N° III

r r d E ⋅ dl = − Φ B ∫ dt

Ecuación

No hay un término asociado (corriente asociada a monopolos magnéticos).


II


IV

r r B ⋅ dA = 0 ∫

r r dq ⎞ ⎛ B ⋅ dl = μ 0 I , ⎜ μ 0 I ≡ μ 0 ⎟ ∫ dt ⎠ ⎝



Segunda asimetríaLa ecuación

r r d ⎛d ⎞ E ⋅ dl = − Φ B , nos dice que se un campo magnético cambia ⎜ Φ B ⎟ , se produce un ∫ dt ⎝ dt ⎠ r r campo eléctrico, ∫ E ⋅ dl . Partiendo de un principio de simetría, surge la sospecha obligada: ¿Un campo r r ⎛d ⎞ eléctrico al cambiar ⎜ Φ E ⎟ , producirá un campo magnético ∫ B ⋅ dl ? ⎝ dt ⎠

La respuesta a esta pregunta proporcionará un importante término “faltante” en laecuación IV. Supongamos que tenemos un capacitor circular de placas planoparalelas

Ahora digamos que E aumenta a un ritmo constante (dE/dt), lo que significa que se debe estar suministrando carga a las placas del capacitor con un ritmo constante, para suministrar esta carga se necesita una corriente estacionaria i hacia la placa positiva y una corriente estacionaria i saliendo de la placanegativa. Experimentalmente se encuentra que un campo eléctrico variable establece un campo magnético. En consecuencia, la contraparte simétrica de la ley de inducción de Faraday puede escribirse como:

r

r r B ⋅ dl ∫

=

μ 0ε 0

d dt

ΦE .


Corriente de desplazamiento





Hablemos a continuación de la corriente de desplazamiento.

La ley de Ampere, en su versiónincompleta: B ⋅ dl = μ 0 I , donde el término I esta referido a una corriente estacionaria continua. Analicemos el caso de un capacitor planoparalelo: Se introduce el término: I d = ε 0 Tenemos:



r

r

∫ B ⋅ dl = μ (I + I ) .
0 d

r

r

d Φ E . ¿Qué unidades tiene Id? dt

Propósito: mantener la noción de que la corriente es continua. En consecuencia:

r r d B ⋅ dl = μ 0 I + μ 0ε 0 Φ E. (Ley de Ampere- Maxwell) ∫ dt

Demostración de que Id = I. (La corriente de desplazamiento es igual a la corriente continua). El campo eléctrico entre las placas del capacitor es: Derivando esta expresión con respecto al tiempo:

E=

q . ε0 A

dE 1 ⎛ dq ⎞ 1 = I. ⎜ ⎟= dt ε 0 A ⎝ dt ⎠ ε 0 A d dE d d (EA) . Para la expresión I d = ε 0 Φ E , tenemos: I d = ε 0 Φ E = ε 0 = ε0 A dt dt dt...
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