ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y suprimimos los denominadores.
2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos. Al final tendremos a ambos lados del igual, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.
3. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, losnúmeros al otro lado.
4. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.
5. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.
Soluciones de una ecuación de primer grado.
Ejemplos
Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.
X + 3 = 5 x + 11   ⇒  x - 5 x = 11 - 3   ⇒   - 4 x = 8   ⇒   x = 8 / - 4   ⇒ x = - 2
Todo número real: nos da    ⇒  0 x = 0. Tiene solución para cualquier valor de x, decimos que tiene infinitas soluciones.
13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x   ⇒   - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13   ⇒   0 = 0
Incompatible: se anulan las x y nos da   ⇒  0 x = número. No tiene solución.
6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x   ⇒    5 x - 4 x - x = - 2 -6 - 2    ⇒   0 x = - 10





ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:


EJEMPLOS:
1.

2.

3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).





APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

EJEMPLOS:
1) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será laedad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
Años x
35 + x = 3 · (5 + x )
35 + x = 15 + 3 · x
20 = 2 · x             x = 10
Al cabo de 10 años.

2) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?





3) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
Altura x
Base 2x
2 · x + 2 · 2x = 30        2x+ 4x = 30      6x = 30      x = 5
Altura 5 cm
Base 10 cm


APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

EJEMPLOS:
1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
 
Resolución:
 
1. Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.
 
2. Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.
 
3. El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) =168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.
 
4. 2x(2x + 2) = 168
 
4x2 + 4x - 168 = 0.
 
5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x2 + x - 42 = 0.
 

 
 
6. Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14
 
Una solución es 12 y 14.
 
7. Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12
 
Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.
 
El problematiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.



2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380.
 
Resolución:
 
1. Si x es uno de los números, el otro será 39 - x, puesto que entre las dos han de sumar 39.
 
2. El producto de los dos números es 380:
 
x(39 - x) = 380
 
3. Las soluciones de esta ecuación son:
 
x(39 - x) = 380 Þ 39x - x2 - 380 = 0 Þ x2 - 39x+ 380 = 0
 

 
Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19.
 
Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20.
 

3. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pta. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?
 
Resolución:
 
1. Sea x el número degomas que se han comprado por 60 pesos. El precio de cada goma se obtendrá dividiendo el precio total entre el número de gomas.
 
 



sería de 1 peso. menos cada una, entonces se obtendrá:
 

 
 
2. Resolviendo esta ecuación:
 

 
 60x + 180 - x2 -3x = 60x  x2 + 3x - 180 = 0
 

 
El número de gomas que se compraron fue 12, ya que una solución negativa para
un número de objetos...