Ecuaciones dif

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Introducción.-
Este trabajo es realizado mediante una investigación sobre las transformadas de laplace vemos conveniente realizarla debido a que esta facilitara la resolución de problemas de valores iníciales lineales.
Definición.-
La Transformada de La place de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es lafunción F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida.
La transformada de la place de orden exponencial:
Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M > O y T > 0 tal que |f(t) |≤Mect para toda t > T
Desarrollo.-
* Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) yf2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) f2(t) } = F1(s) F2(s)

2. Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t)es:
t 0
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)
t 0
s

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lím f(t) = Lím s F(s)
Si el límite existe.
Transformadas de Laplace de algunasFunciones Elementales:

| f(t) | L {f(t)} = F(s) |
1 | K | k/s |
2 | t | 1/s2 |
3 | tn | n!/sn+1 |
4 | eat | 1/ s-a |
5 | sen at | a/ s2 + a2 |
6 | cos at | s/ s2 + a2 |
7 | senh at | a/ s2 - a2 |
8 | cosh at | s/ s2 - a2 |

Transformada Inversa de Laplace

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) sedenota:

L-1 { F(s)} = f(t)

* Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se explicará el Método de las Fracciones Parciales.
Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como unasuma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.
Aplicación de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales

La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial desegundo orden:

d2y/dt2 + dy/dt + y = F(t) o sea y'' + y' + y = F(t) (1)

donde y son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera y(0) = A e y'(0) = B (2).
Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuación algebraica paradeterminar L { y(t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).

EJEMPLOS.-
* Ejemplo 1:
Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla:
f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

Aplico Transformada de Laplace:
L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)

Ya que la Transformada de Laplacede una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s4 )...
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