ecuaciones dif
Páginas: 5 (1029 palabras)
Publicado: 25 de septiembre de 2014
ANTECEDENTES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales.
A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en símismo. Ya Newton (los creadores del cálculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio).
Los matemáticos de la épocacon frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante.
En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales sonfunciones de elementos del triángulo característico. En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria (dellatín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens probó que esto no era correcto.
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernoullipublicaron soluciones independientes. La deJean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica: Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea y =y(x) la densidad del cable. Sea y =y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurreen x = 0 (o en otras palabras, y0(0) = 0).
La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente(1820) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857);los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.
¿Que son las ecuaciones diferenciales?
Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variablesindependientes.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, , es la derivada de con respecto a .
La expresión
es unaecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, porejemplo, la transformada de Laplace).
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Dependiendo de la cantidad de variables independientes, respecto de las que se deriva:
Ordinarias: Una solo variable independiente.
Parciales: Dos o más variables independientes.
POR ORDEN
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación
El orden de la...
ANTECEDENTES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales.
A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en símismo. Ya Newton (los creadores del cálculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio).
Los matemáticos de la épocacon frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante.
En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales sonfunciones de elementos del triángulo característico. En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria (dellatín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens probó que esto no era correcto.
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernoullipublicaron soluciones independientes. La deJean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica: Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea y =y(x) la densidad del cable. Sea y =y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurreen x = 0 (o en otras palabras, y0(0) = 0).
La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente(1820) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857);los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.
¿Que son las ecuaciones diferenciales?
Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variablesindependientes.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, , es la derivada de con respecto a .
La expresión
es unaecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, porejemplo, la transformada de Laplace).
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Dependiendo de la cantidad de variables independientes, respecto de las que se deriva:
Ordinarias: Una solo variable independiente.
Parciales: Dos o más variables independientes.
POR ORDEN
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación
El orden de la...
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