Ecuaciones Diferenciales Aplicadas A Los Resortes

Universidad Tecnológica de Panamá


Facultad de Ingeniería Mecánica


Ingeniería Aeronáutica

Ecuación Diferencial

Ecuaciones Diferenciales
Aplicadas a los Resortes




Índice de contenido

1. Introducción.......................................................................3

2. Desarrollo...........................................................................4

3.Conclusión..........................................................................10

4. Recomendaciones...............................................................11























Introducción

Las ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en las Matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticas por este tipo deecuaciones. Es importante para este informe la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinado problemas de carácter físico.

A esta transición del problema se le llama Modelado. Este método tiene una gran importancia practica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos. Se llevara a el modelado de los problemas queconducen a Ecuaciones Diferenciales de primer y segundo orden.






















Ecuaciones Diferenciales aplicadas a los resortes

La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con elalargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente modo:
,     siendo    

Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material).
La energía de deformación o energía potencial elástica  asociada al estiramientoo acortamiento un muelle lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal  de su longitud:



Si el muelle no es lineal entonces la rigidez del muelle es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:















Movimiento Armónico Simple:

La Ley de Hooke.
Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de unresorte flexible suspendido de un soporte rígido. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud . Dicho en términos simples, F = -k, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerposde distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k.








La energía de deformación o energía potencial elástica  asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la  antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora unaconstante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando  por la longitud total, y llamando al producto  o  intrínseca, se tiene:

Llamaremos  a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas,  a la constante de un pequeño trozo demuelle de longitud  a la misma distancia y  al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza. Por la ley del muelle completo:


Tomando el límite:

Que por el principio de superposición resulta:


Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es...