Ecuaciones Diferenciales De Primer Y Segundo Orden En Aplicaciones, Resueltas Con Matlab Usando Los Métodos De Runge Kutta, Euler Y Euler Modificado

Universidad Nacional Experimental del Táchira.
Vicerrectorado Académico.
Decanato de Docencia.
Departamento de MATEMáTICA.
MATEMÁTICA ESPECIAL.
PROFESORA: Olga Roa.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Ejercicios

Realizado por:
Christian Santos C.I. 21221747
Ingeniería civil

San Cristóbal, 20 de abril de 2012.
Ejercicio 28.8: El compuesto A se difunde a través de un tubode 4cm de largo y reacciona conforme se difunde. La ecuación que gobierna la difusión de la reacción es:
D∙d2Adx2-K∙A=0
En un extremo se encuentra una fuente grande de A con concentración de 0.1 M. En el otro extremo del tubo está un material que absorbe con rapidez cualquier A y hace la concentración sea 0 M. Si D=1.5x10-6 cm2/s y K=5x10-6 s-1 ¿Cuál es la concentración de A como función de ladistancia en el tubo?
Para resolver el ejercicio propuesto se hará uso del siguiente algoritmo:
Algoritmo de Euler, Euler modificado y Runge Kutta de 4to orden para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de 2do. Orden transformándolas en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Sea un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de 2do. Orden de la forma:d2ydt2+Adydt+By=C
Donde A, B y C son coeficientes constantes y t es la variable independiente, se debe ingresar un cambio de variable de la forma:
dydt=v ; dvdt=d2ydt2
Para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden definido por:
dydt=Ft,yt,v(t) a≤t≤b ya=∝
dvdt=ft,yt,v(t) a≤t≤b va=β
En (n+1) puntos equiespaciados. Paracalcular las soluciones aproximadas por los métodos de Euler, Euler modificado y Runge Kutta se deben seguir los pasos descritos a continuación:
Paso 1: Definir n=(b-a)h; ye1=α, yem1=α, yrk1=α, ve1=β, vem1=β, vrk1=β

Paso 2: Definir i=1,…, n+1 e ir a los paso 3, 4 y 5
Paso 3: Calcular Constantes de Runge Kutta

k1=F(ti,yrki,vrki) q1=f(ti,yrki,vrki)k2=F(ti+h2,yrki+h2*k1,vrki+h2*q1) q2=f(ti+h2,yrki+h2*k1,vrki+h2*q1)
k3=F(ti+h2,yrki+h2*k2,vrki+h2*q2) q3=f(ti+h2,yrki+h2*k2,vrki+h2*q2)
k4=F(ti+h,yrki+h*k3,vrki+h*q3) q4=f(ti+h,yrki+h*k3,vrki+h*q3)

Paso 4: Calcular ti+1=ti+h
Paso 5: Calcular
yrki+1=yrki+h6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
vrki+1=vrki+h6*(q1+2*q2+2*q3+q4)
yemi+1=yemi+h2*[Fti,yemi,vemi+F(ti+1,yemi+h*Fti,yemi,vemi,vemi+h*Fti,yemi,vemi]vemi+1=vemi+h2*[fti,yemi,vemi+f(ti+1,yemi+h*fti,yemi,vemi,vemi+h*fti,yemi,vemi]
yei+1=yei+h*Fti,yei,vei
vei+1=vei+h*fti,yei,vei
Paso 6: Finaliza el proceso, yrk(ti), vrk(ti), yem(ti), vem(ti), ye(ti) y ve(ti) se aproximan a la soluciones buscadas.

La ecuación dada por el ejercicio 28.8 es una ecuación diferencial ordinaria de 2do orden que representa la variación de la concentración de un compuesto en funciónde la distancia, siendo la variable independiente x y la variable dependiente A.
Como el compuesto recorre 4cm que es la longitud del tubo, se tiene que el intervalo es 0≤x≤4
Las condiciones iniciales vienen dadas por A(0)=0.1 y A’(0)=0
Es necesario conocer un tamaño de paso h, tomando como criterio que entre más pequeño sea dicho tamaño de paso, mejor será la aproximación de las solucionesbuscadas.
Para transformas la ecuación diferencial ordinaria de 2do. Orden en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er. Orden se hace el siguiente cambio de variable:
dAdx=y ; dydx=d2Adx2
Al sustituir en la ecuación de 2do. Orden, la ecuación es:
dydx=K*AD=A*5×10-61.5×10-6=A*51.5
Teniendo como primera ecuación: dAdx=y, la segunda Ecuación será dydx=A*51.5
El valor deltamaño de paso que se usará es 0.002 ya que es un valor muy pequeño que dará mejores aproximaciones a la solución buscada, que viene dada por la solución analítica de la ecuación diferencial de 2do. Orden de este ejercicio. La solución analítica para "1.5×10-6*d2Adx2-A*5×10-6=0" se consigue utilizando la función dsolve de MATLAB.
y=dsolve('1.5*10^-6*D2y-5*10^-6*y=0','y(0)=0.1','Dy(0)=0','x')
y =...