Ecuación diferencial. Runge-Kutta

Universidad de Guadalajara
Departamento de Ingeniería de Proyectos (CUCEI)
Maestría en Ciencia de Materiales

MATEMATICAS PARA MATERIALES
PROF. DR. RUBÉN RUELAS LEPE
Norma Alicia González Arreola

CASO PRACTICO 8

METODO DE RUNGE-KUTTA
1.- OBJETIVOS
Realizar la solución de una ecuación diferencial que genera un evento físico utilizando el
método iterativo de Runge-Kutta de 4º orden.Utilizando el programa de Matlab y
mediante simulink se resolverá de manera de diagrama de bloques, esto para ver los
resultados que estos métodos generan.
2.- MATERIALES Y EQUIPOS UTILIZADOS
En este caso no se utiliza ningún instrumento físico. Se hace uso únicamente del software
de Matlab.
3.- CONCEPTOS TEÓRICOS UTILIZADOS
El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuacionesdiferenciales de la forma:

Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos
convencionales (como separación de variables).
Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el
método en el cual se elige un tamaño de paso h y un número máximo de iteraciones n tal
que

y se realiza la iteración

Para i=0,…,n-1. Lasolución se da a lo largo del intervalo

.

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
La aplicación del método de Runge-Kutta de cuarto orden a un conjunto de ecuaciones
diferenciales ordinarias es análoga a la aplicación del método de segundo orden. Con el fin
de simplificar la explicación, consideremos un conjunto de dos ecuaciones:

El método de Runge-Kutta de cuarto orden para este conjuntoes:

Incluso cuando el número de ecuaciones es un conjunto mayor que dos, el método de
Runge-Kutta de cuarto orden es esencialmente el mismo.
La ley de Kirchoff establece que la suma de todos los cambios instantáneos de voltaje
alrededor de un circuito cerrado es cero. Esta ley implica que en un circuito cerrado que
contenga una resistencia de R ohms, una capacitancia de C faradios, unainductancia de L
henrios y una fuente de voltaje de
voltios, la corriente
satisface la ecuación:
∫

4.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Se tiene un circuito de acuerdo al siguiente diagrama:

Haciendo una ecuación de malla se obtiene:
∫
La corriente en el capacitor es

Sustituyendo en la primera ecuación ponemos todo en términos del voltaje en el capacitor
:

Y condiciones iniciales de

y. La ecuación diferencial es de la forma:

Y presenta la solución analítica:

Para encontrar la solución a la ecuación diferencial de segundo orden, se hace una
transformación de ésta en dos ecuaciones de primer orden. Y queda de la siguiente
manera.

Por razones prácticas la variable vc la manejaremos simplemente como y.

Código en Matlab
clc
clear
%ecn dif de 2o orden%LCd2y/dt2 + RCdy/dy + y = 0 y(0)=1, y'(0)=0
%transformar en dos ecuaciones de primer orden
%dy/dt=z y(0)=1
%dz/dt=1/LC(0 - RCz - y) y'(0)=0
h = 0.01;
t= 0:h:100;
n = length (t);
R = 1;
L = 10;
C = 0.7;
vc = 1;
B = R*C;
M = L*C;
%Runge-Kutta de orden 4
y = zeros(1,n);
y(1) = 1;
z = zeros(1,n);
z(1) = 0;
for i=1:n-1
k1 = h*z(i);
L1 = h*(1/M)*(0-B*z(i)-vc*y(i));
k2 = h*(z(i)+(L1/2));
L2= h*(1/M)*(0-B*(z(i)+(L1/2))-vc*(y(i)+(k1/2)));
k3 = h*(z(i)+(L2/2));
L3 = h*(1/M)*(0-B*(z(i)+(L2/2))-vc*(y(i)+(k2/2)));
k4 = h*(z(i)+L3);
L4 = h*(1/M)*(0-B*(z(i)+L3)-vc*(y(i)+k3));
y(i+1) = y(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
z(i+1) = z(i)+(L1+2*L2+2*L3+L4)/6;
end
figure
plot(t,y,'mo')
hold on

observar figura 1.
Solución numérica de la ecuación por Matlab con función ODE45
function d =ode5(t,x)
y = x(1);
z = x(2);
d = [z; (0-0.7*z-y)/7];
[t,x] = ode45('ode5',[0 100], [1 0]);
y = x(:,1);
plot (t,y,'k.')

observar figura 2.

Solución analítica de la ecuación por Matlab
o = dsolve('7*D2y+0.7*Dy+y=0','y(0)=1','Dy(0)=0');

o = 1/393*2751^(1/2)*exp(1/20*t)*sin(1/140*2751^(1/2)*t)+exp(1/20*t)*cos(1/140*2751^(1/2)*t)
subplot(2,1,2), ezplot(o,[0,100])
xlabel('t');...