Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Variables Separables

1.1.

Ecuaciones de variables separables

1) Calcula, por separaci´n de variables, la soluci´n general de las siguieno o tes ecuaciones de primer orden. Adem´s,en caso de dar condiciones iniciales, a determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) as´ como su ı intervalo maximal de definici´n. o 1). . . . .. . . . . . 2). . . . . . . . . . . 3). . . . . . . . . . . 4). . . . . . . . . . . 5). . . . . . . . . . . dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx x2 + 1 , y(−3) = 4, 2 − 2yx =− , y(1) = 2 y 3x + 3xy 2 =− 2 . yx + 2y ￿ x2 + x2 y 2 = . y 2 + x2 y 2 x + xy 2 = , y(1) = 0. 4y = y(−3) = −2.

6). . . . . . . . . . . 7). . . . . . . . . .. 8). . . . . . . . . . . 9). . . . . . . . . . . 10). . . . . . . . . . . 11). . . . . . . . . . .

dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dr dθ

= −3y cot(x), =−y(π/2) = 2.

sen2 y , y(π/4) = π/4. cos2 x y =− 3 2 . x y + x3 3x + xy 2 =− , y(2) = 1. 2y + x2 y (y 2 + 2y − 3)(x − 2) = 2 , (x + 2x − 3)(y − 2) sen θ + e2r sen θ =, r(π/2) = 0. 3er + er cos θ

2) La ecuaci´n o dy 4y 2 − x4 = , dx 4xy no es separable. Comprueba que la transformaci´n y → v dada por y = vx o convierte laecuaci´n anterior en otra de variables separables. Resuelve la o nueva ecuaci´n y calcula la soluci´n general de la ecuaci´n original. o o o

3) Una ecuaci´n de la formao dy y f (xy) = , dx x g(xy) no es separable. Sin embargo comprueba que la transformaci´n y → v dada o por y = v/x convierte la ecuaci´n anterior en otra separable.Aplica esta o t´cnica para calcular la soluci´n general de las siguientes ecuaciones: e o dy y − xy 2 = , dx x + x2 y dy 1 − xy + x2 y 2 = . dx x2 − x3 y