Ecuaciones Diferenciales

Páginas: 4 (939 palabras) Publicado: 15 de octubre de 2012
SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICA IV

1. Resuelva la ecuación diferencial 2xy3dx+x2y2-1dy=0 y halle la solución particular que cumple y2=1.
Solución:
2xy3dx+x2y2-1dy=0
Tenemos:Mx;y=2xy3 ∂M∂y=6xy2
Nx;y=x2y2-1 ∂N∂x=2xy2
Nos damos cuenta de que no es una ecuacion diferencial exacta.
Pero:
∂M∂y-∂N∂x=4xy2
Veamos si existe un factor integrante u=uy.Ahora si: -1M∂M∂y-∂N∂x=gy
Por consiguiente: gy=-12xy34xy2=-2y
Entonces: lnu=-2dyy=-2lny=lny-2
u=1y2
Ahora:
1y2(2xy3dx+x2y2-1dy=0
2xydx+x2-1y2dy=0 …. ecuacion diferencialexacta.

Por el metodo directo:
2xydx=x2y
(x2-1y2)dy=x2y+1y
La solucion general es: x2y+1y=c …1
Por las condicione iniciales del problema: x=2 →y=1.
En (1): 221+11=c → c=5
La soluciongeneral es: x2y+1y=5

2. Un punto se mueve en el primer cuadrante del plano XYde modo que la tangente a su trayectoria forma con los ejes coordenados un triangulo cuya area es igual a laconstante a2. Encuentre la trayectoria.
Solucion:

a
a

(x;y)
(x;y)
n
n

m
m

La ecuación general de la recta tangente:
Lt: Y-y=y'X-x …1
Para Y=0 →x=m

En (1):
0-y=y'm-x→ m=x-yy' …2Para X=0 →Y=n
En (1):
n-y=y'0-x → n=y-xy'…3
De la condición del problema, tenemos que: mn=2a2 …4
(2) y (3) en (4):
x-yy'y-xy'=2a2
xy'-y2=2a2-y'
xy'-y=2a-y'
y=xy'-2a-y' … ecuaciondiferencial de Clairut
Haciendo: y'=p → dy=pdx
y=xp-2a-p …. 5
Derivando:
dy=xdp+pdx+2a2-pdp
Como: dy=pdx
0=xdp+2a2-pdp
0=dpx+2a2-p
Entonces:
x+2a2-p=0
Tenemos:
-p=-2a2x y p=-a22x2Remplazando en (5):
y=x-a22x2-2a-2a2x
y=a22x → xy=a22
Finalmente, la trayectoria es una hipérbola.

3. El calculo de variaciones es una rama avanzada de las matemáticas. Un problema estudiado enesa rama es la determinación de una curva que pase por los puntos (a;b) y (c;d) con la propiedad de que la superficie generada al rotar la curva alrededor del eje X sea minima. La curva requerida se...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Ecuaciones Diferenciales
  • Ecuaciones Diferenciales
  • ecuaciones diferenciales
  • ecuaciones diferenciales
  • ecuaciones diferenciales
  • Ecuaciones diferenciales
  • Ecuacion diferencial
  • Ecuaciones Diferenciales

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS