ecuaciones difersncial

1era.Unidad: Introducción a las ecuaciones diferenciales
1.1. Definiciones básicas, terminología, clasificación.
Definición de ecuación diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial.
Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se puedenclasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de unaecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en ella.


Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Clasificación según el tipo Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencialordinaria. Por ejemplo:


Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o mgs variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo:


Son ecuaciones en derivadas parciales.

Clasificación según el orden El orden de una ecuacibn diferencial (ordinaria o en
derivadasparciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:


Es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y - x) dx + 4xdy = 0 se puede escribir en la forma.


Si se divide entre la diferencial dx, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante lossímbolos.


En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la derivada de orden máximo, y(n)), de una ecuación diferencial de orden n.




Clasificación según la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n)=f(x, y, y’, . . ., y(n-1)) es lineal cuando es una función lineal de y, y’,. . ., y(n-1). Esto significa que unaecuación es lineal si se puede escribir en la forma:


En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

i) La variable dependiente Y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece Y es 1.

ii) Cada coeficiente sólo depende de X, que es la variable independiente.

Las funciones de Y comoson Y o las funciones de las derivadas de Y, como ey no pueden aparecer en una ecuación lineal. Cuando una ecuación diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.

Las ecuaciones siguientes:



Son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado:










2da unidad: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ya podemosresolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las de primer orden y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de ecuación. A través de los años, los matemáticos han tratado de resolver muchas ecuaciones especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que funciona bien con un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se aplica a otros. En esta unidad nosconcentraremos en tres tipos de ecuaciones de primer orden.

2.1 Ecuaciones de variables separables.

Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escibir la ecuación en la forma:



El factor integrante , es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos:



Lo cual resulta fácil de integrar siendo una función de la variable x y una...