Ecuaciones Diofanticas

Páginas: 6 (1259 palabras) Publicado: 30 de agosto de 2011
Ecuaciones Diofánticas
Introducción
Se nos ha enseñado que un sistema congruente de ecuaciones es aquel que posee la misma cantidad de ecuaciones y variables. A lo largo de nuestra vida, nos hemos topado con problemas donde tenemos dos incógnitas y una sola ecuación. ¿Según lo anterior, no tiene solución? Claro que la tiene, y es en ese caso donde hacen su aparición las ecuacionesDiofánticas. Las ecuaciones diofánticas son una alternativa sencilla en cuanto a su planteamiento. Para su comprensión se requieren unos pocos conocimientos básicos sobre lo que es una ecuación y los términos que en ella figuran. Los enunciados de problemas que se traducen en ecuaciones diofánticas abarcan desde situaciones de la vida cotidiana, hasta las complicadas ecuaciones de la mecánica cuántica. Lasecuaciones diofánticas tuvieron su origen en la Aritmética de Diofanto y fueron abordadas por Fermat, que en el estudio concreto de una de ellas, lanzó una conjetura que acabaría por ser uno de los 1 teoremas más famosos de la historia de las matemáticas. “La búsqueda de valores enteros para la solución de determinadas ecuaciones es una de las tareas que más ha impulsado la Teoría de Números y siguesiendo actualmente un área de intensa investigación.” (Fermat)

Antecedentes

Diofanto (alrededor del año 200-alrededor del año 284) La obra más conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130 problemas, distribuidos en 13 libros, de los que sólo se conservan 6. La mayoría de los problemas son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racional, puesen aquella época no tenían sentido los números negativos y mucho menos los irracionales. Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado: ax +bx=c ax =bx+c ax +c=bx El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola, es que en aquella época no existía el cero ni los números negativos. Aritmética también trata sobre teoría de números. Parece ser que Diofanto sabía que ningúnnúmero de la forma 4n + 3 o 4n - 1 puede obtenerse como la suma de dos cuadrados, ni ningún número de la forma 24n + 7 puede obtenerse como la suma de tres cuadrados. Diofanto introdujo símbolos para representar las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual. Esto fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual. Aritmética ha sido un libro muy influyente en eldesarrollo de la matemática. La traducción más famosa es la de Bachet en 1621, que es la edición en que Fermat hizo su célebre anotación. Ecuaciones: En general, una ecuación es una igualdad en la que además de números figuran unas letras, llamadas incógnitas, cuyo valor hay que encontrar. Por ejemplo: 3x + 2y = 8 es una ecuación que tiene dos incógnitas, la x y la y. Los números que están delante de lasincógnitas reciben el nombre de coeficientes. Las letras que representan a las incógnitas pueden estar elevadas a números, llamados exponentes, el más grande de los cuales determina lo que se llama el grado de la ecuación. Ecuaciones las hay, pues, de muchos tipos, con una o con varias incógnitas, de primer grado (lineales), de segundo, tercer grado, etc. Pero el tipo de ecuaciones que nos ocupaaquí no hace referencia a 2 la forma de la ecuación, sino a la naturaleza de sus soluciones. Soluciones enteras
2 2 2

Se define el conjunto de los números enteros, que se representa con la letra Z, como el formado por la serie natural de los números, 1, 2, 3, … cuando a éstos se les añade el cero y todos los negativos, de manera que los quebrados, cocientes entre números cuya división no esentera, no se consideran números enteros. Por ejemplo, no lo son 1/2, 5/3, etc. La Teoría de Números es una rama de las Matemáticas que se mueve dentro del ámbito de los números enteros y que, entre otras muchas cosas, se ocupa de la resolución de las ecuaciones diofánticas. Una ecuación diofántica es, por definición, una ecuación con una o varias incógnitas cuyos coeficientes son todos números...
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