Ecuaciones Diofanticas

Ecuaciones Diofánticas.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS.

Índice
1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................2
2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS. CASOS PARTICULARES........................................................................................2Definición.............................................................................................................................................................................2
Caso particular de ecuación de primer grado.......................................................................................................................2
Caso particular de ecuación de segundogrado.....................................................................................................................3
Casos particulares de ecuaciones con varias incógnitas.......................................................................................................3
Caso particular de ecuaciónPitagórica.................................................................................................................................7
Casos particulares de ecuaciones polinomiales de la forma P(x) – Q(x) . y = 0..................................................................9
El último teorema de Fermat..............................................................................................................................................11
Ecuaciones diofánticas de unavariable..............................................................................................................................14
3. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES EN DOS O MAS VARIABLES..........................................................15
Ecuaciones Diofánticas de dos variables............................................................................................................................15
Existencia desoluciones.....................................................................................................................................................16
Construcción de soluciones................................................................................................................................................17
Ecuaciones lineales con más de dosincógnitas..................................................................................................................20
Sistema de ecuaciones lineales...........................................................................................................................................22

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Ecuaciones Diofánticas.

1. INTRODUCCIÓN.
El nombre de ecuaciones diofánticas proviene de Diofanto (Matemático de la antigua
Grecia), y suorigen está ligado a la siguiente cuestión: ¿Cuantos números naturales son necesarios
para expresar un número natural cualquiera como suma de cuadrados “ n=x 2  y 2z 2... “ ?.
La respuesta que los antiguos griegos dieron a esta pregunta fue: “siempre es posible, si el
número de términos es cuatro“.
Las cuestiones relacionadas con las ecuaciones diofánticas han ocupado a grandes
matemáticoscomo: Fermat (s. XVII), Euler (s. XVIII) o Lagrange (s. XVII), y ha sido el origen de
la teoría de los números. De hecho, una conjetura al margen de un libro escrito por el matemático
Fermat: " la ecuación

x n  y n=z n para n2 , no tiene solución ", a tenido durante cuatro siglos,

a bastantes matemáticos en el intento de su demostración. Aportando, durante su estudio hallazgos
importantes, comola teoría de ideales.

2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS. CASOS PARTICULARES.
Definición.
Dado un anillo de polinomios

K [ X 1, X 2 ,... , X n ]

de n indeterminadas, si es un

dominio de integridad (anillo unitario conmutativo y sin divisores de cero), para cada elemento
p  x 1, x 2, … , x n  ∈ K [ X 1, X 2 , … , X n ] . Decimos que la ecuación

p  x 1, x 2, … , x n =0 . Es una

ecuación...