ecuaciones diofanticas

Apuntes de Matem´tica Discreta
a
12. Ecuaciones Diof´nticas
a

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Octubre de 2004
a

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

ii

Lecci´n 12
o

Ecuaciones Diof´nticas
a
Contenido
12.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.1.1 Definici´n . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
o
12.2 Soluci´n de una Ecuaci´n Diof´ntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
o
o
a
12.2.1 Soluci´n Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
o
12.2.2 Soluci´n General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
o

12.1

GeneralidadesEstas ecuaciones reciben este nombre en honor a Diofanto1 , matem´tico que trabaj´ en Alejandr´ a
a
o
ıa
mediados del siglo III a.c. Fue uno de los primeros en introducir la notaci´n simb´lica en matem´ticas
o
o
a
y escribi´ seis libros sobre problemas en las que consideraba la representaci´n de n´meros anterior como
o
o
u
suma de cuadrados.

12.1.1

Definici´n
o

Una ecuaci´ndiof´ntica es una ecuaci´n lineal con coeficientes enteros y que exige soluciones tambi´n
o
a
o
e
enteras.

12.2

Soluci´n de una Ecuaci´n Diof´ntica
o
o
a

Veremos un teorema que nos permite saber cuando una ecuaci´n de este tipo tiene soluci´n y aporta un
o
o
m´todo para calcular una soluci´n particular de la misma.
e
o
1 Matem´tico griego de la escuela de Alejandr´ (a.c.325-a.c. 410). Dej´ trece libros de aritm´tica, de los cuales s´lo
a
ıa
o
e
o
los seis primeros nos han llegado, y otro sobre los N´meros angulares. Aunque tom´ como ejemplo para sus m´todos los
u
o
e
trabajos de Hiparco, su teor´ completamente nueva de ecuaciones de primer grado y la resoluci´n que dio a las de segundo
ıa
o
hacen de ´l un innovador en este campo. Sus obras han constituidotema de meditaci´n de sus contempor´neos griegos, y de
e
o
a
los ´rabes, y, m´s tarde, de los ge´metras del renacimiento. El mismo Viete en su obra capital, reproduce sus proposiciones,
a
a
o
aunque sustituye los problemas abstractos por cuestiones de geometr´ resolubles por ´lgebra.
ıa
a

343

Universidad de C´diz
a

12.2.1

Departamento de Matem´ticas
a

Soluci´nParticular
o

Sean a, b y c tres n´meros enteros. La ecuaci´n lineal ax + by = c tiene soluci´n entera si, y s´lo si
u
o
o
o
el m´ximo com´n divisor de a y b divide a c.
a
u
Demostraci´n
o
“S´lo si”. En efecto, supongamos que los enteros x0 e y0 son soluci´n de la ecuaci´n ax + by = c, es
o
o
o
decir, ax0 + by0 = c. Pues bien, si d = m.c.d.(a, b), entonces
d = m.c.d.(a, b) =⇒ d|a y d|b =⇒d|ax0 + by0 =⇒ d|c
“Si”. Rec´
ıprocamente, supongamos que d = m.c.d.(a, b) es divisor de c. Entonces,
m.c.d.(a, b) = d

a b
,
d d

=⇒

m.c.d.

⇐⇒

∃p, q ∈ Z :

=⇒

a

=1

a
b
p+ q =1
d
d

cq
cp
+b =c
d
d

siendo c/d entero ya que, por hip´tesis, d es divisor de c. Ahora bastar´ tomar
o
ıa
x0 =

cp
cq
e y0 =
d
d

y tendr´
ıamos que
ax0 + by0 = c
esdecir los enteros x0 e y0 son soluci´n de la ecuaci´n.
o
o
La soluci´n encontrada se llamar´ soluci´n particular del sistema.
o
a
o
Obs´rvese que este teorema adem´s de asegurar la existencia de soluci´n para una ecuaci´n de este tipo,
e
a
o
o
ofrece un m´todo para calcularla. El siguiente ejemplo aclarar´ estas cuestiones.
e
a
Ejemplo 12.1

Encontrar una soluci´n para la ecuaci´ndiof´ntica 525x + 100y = 50
o
o
a

Soluci´n
o
♦ Veamos si existe soluci´n entera para la ecuaci´n.
o
o
Calculamos el m´ximo com´n divisor de 525 y 100 mediante el algoritmo de Euclides.
a
u
5

4

525

100

25

25

0

es decir,
m.c.d. (525, 100) = 25
y como 25 divide a 50, el teorema anterior asegura la existencia de soluci´n entera para la ecuaci´n.
o
o
♦...