Ecuaciones diofanticas

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Apuntes de Matem´tica Discreta a 12. Ecuaciones Diof´nticas a

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e
C´diz, Octubre de 2004 a

Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

ii

Lecci´n 12 o

Ecuaciones Diof´nticas a
Contenido
12.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.1.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 o 12.2 Soluci´n de una Ecuaci´n Diof´ntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 o o a 12.2.1 Soluci´n Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 o 12.2.2 Soluci´n General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 o

12.1

Generalidades

Estas ecuacionesreciben este nombre en honor a Diofanto1 , matem´tico que trabaj´ en Alejandr´ a a o ıa mediados del siglo III a.c. Fue uno de los primeros en introducir la notaci´n simb´lica en matem´ticas o o a y escribi´ seis libros sobre problemas en las que consideraba la representaci´n de n´meros anterior como o o u suma de cuadrados.

12.1.1

Definici´n o

Una ecuaci´n diof´ntica es una ecuaci´n linealcon coeficientes enteros y que exige soluciones tambi´n o a o e enteras.

12.2

Soluci´n de una Ecuaci´n Diof´ntica o o a

Veremos un teorema que nos permite saber cuando una ecuaci´n de este tipo tiene soluci´n y aporta un o o m´todo para calcular una soluci´n particular de la misma. e o
1 Matem´tico griego de la escuela de Alejandr´ (a.c. 325-a.c. 410). Dej´ trece libros de aritm´tica, delos cuales s´lo a ıa o e o los seis primeros nos han llegado, y otro sobre los N´meros angulares. Aunque tom´ como ejemplo para sus m´todos los u o e trabajos de Hiparco, su teor´ completamente nueva de ecuaciones de primer grado y la resoluci´n que dio a las de segundo ıa o hacen de ´l un innovador en este campo. Sus obras han constituido tema de meditaci´n de sus contempor´neos griegos, y de e o alos ´rabes, y, m´s tarde, de los ge´metras del renacimiento. El mismo Viete en su obra capital, reproduce sus proposiciones, a a o aunque sustituye los problemas abstractos por cuestiones de geometr´ resolubles por ´lgebra. ıa a

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Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

12.2.1

Soluci´n Particular o

Sean a, b y c tres n´meros enteros. La ecuaci´n lineal ax + by =c tiene soluci´n entera si, y s´lo si u o o o el m´ximo com´n divisor de a y b divide a c. a u Demostraci´n o “S´lo si”. En efecto, supongamos que los enteros x0 e y0 son soluci´n de la ecuaci´n ax + by = c, es o o o decir, ax0 + by0 = c. Pues bien, si d = m.c.d.(a, b), entonces d = m.c.d.(a, b) =⇒ d|a y d|b =⇒ d|ax0 + by0 =⇒ d|c “Si”. Rec´ ıprocamente, supongamos que d = m.c.d.(a, b) es divisorde c. Entonces, m.c.d.(a, b) = d =⇒ ⇐⇒ =⇒ m.c.d. a b , d d =1

∃p, q ∈ Z : a

a b p+ q =1 d d

cq cp +b =c d d

siendo c/d entero ya que, por hip´tesis, d es divisor de c. Ahora bastar´ tomar o ıa x0 = y tendr´ ıamos que ax0 + by0 = c es decir los enteros x0 e y0 son soluci´n de la ecuaci´n. o o La soluci´n encontrada se llamar´ soluci´n particular del sistema. o a o Obs´rvese que esteteorema adem´s de asegurar la existencia de soluci´n para una ecuaci´n de este tipo, e a o o ofrece un m´todo para calcularla. El siguiente ejemplo aclarar´ estas cuestiones. e a Ejemplo 12.1 Soluci´n o ♦ Veamos si existe soluci´n entera para la ecuaci´n. o o Calculamos el m´ximo com´n divisor de 525 y 100 mediante el algoritmo de Euclides. a u 5 525 25 es decir, m.c.d. (525, 100) = 25 y como 25divide a 50, el teorema anterior asegura la existencia de soluci´n entera para la ecuaci´n. o o ♦ Calculamos una soluci´n para la ecuaci´n. o o Siguiendo el m´todo indicado en la demostraci´n del teorema, hallamos los coeficientes de la come o binaci´n lineal del m´ximo com´n divisor de 525 y 100. Bastar´ seguir el algoritmo de Euclides o a u ıa hacia atr´s. a 25 = 1 · 525 + (−5) · 100 344 100 0 4 25...
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