Ecuaciones en Diferencia


Universidad Arturo Prat
Iquique
















Ecuaciones en Diferencias


















Introducción

Las ecuaciones diferenciales y en diferencia son herramientas versátiles de análisis. Son excelente representación de un gran número de situaciones dinámica y su teoría asociada es abundante para entregar elementos para sucomprensión.
Hoy en día existen distintas problemáticas en los diversos ámbitos del ser humanos y muchos de estos requieren de un modelo matemático para su estudio. La gran mayoría de estos están construidos a base de Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencia.































Las Ecuaciones en Diferencias nos describen la evolución temporal de unsistema o un fenómeno, de forma que los diferentes estados discretos, por los que pasa sucesivamente, son función directa de los correspondientes estados inmediatamente anteriores; estos son los llamados sistemas dinámicos discretos, es decir con evoluciones a saltos en el tiempo y no de forma continua, lo que vendría expresado por una ecuación diferencial. Así pues, si un sistema se encuentra enun estado n+1 (con n perteneciente al conjunto de los números enteros positivos: nÎ Z+,
n = {0, 1, 2, 3..., a, a+1, a+2… }) la formulación general de este tipo de ecuaciones se expresará:

y[n+1] = f(y[n])

o, alternativamente, partiendo de un estado inicial para el sistema, y[0], podemos
generar la secuencia
y[0], f(y[0]), f(f(y[0])), f(f(f(y[0]))),...

que habitualmente se escribe en laforma siguiente:

f0(y[0]) = y[0];
f(y[0]) = f1(y[0]);
f2 (y[0]) = f(f(y[0]));
f3(y[0]) = f(f (f(y[0])))…

o bien
y[n+1] = fn+1(y[0]) = f(y[n]) = f(fn(y[0]))

esto se leería de la siguiente forma:
f(y[0]) es llamado primer iterante de y[0] en la función f.






Equilibrio

Llamamos punto o estado de equilibrio de una ecuación en diferencias a aquel estado y[n] que verifica:y[n+1] = f(y[n]) = y[n]
es decir, el estado permanece invariante.

Ejemplo: Sea el valor del estado:
y[n] = x

y la función que determina la evolución del sistema:
y[n+1] = f(y[n]) = y[n]. y[n]. y[n] = y3[n] = x3

Esta ecuación representa un sistema con tres puntos de equilibrio, que son:
x = 1, x = -1 y x = 0
Si el sistema llega alguna vez a tomar alguno de los tres anterioresvalores, tras partir de una condición inicial (un valor de x) determinada, habrá alcanzado un punto de equilibrio.

Existe una diferencia fundamental entre este tipo de equilibrios, obtenidos mediante ecuaciones en diferencias y los obtenidos mediante una ecuación diferencial.
Mientras en estas últimas los equilibrios son soluciones bien definidas de la ecuación, en los sistemas tratados endiferencias, una solución de la ecuación puede no representar un equilibrio de partida pero, tras un número finito de iteraciones, puede alcanzar un punto de equilibrio y, si es estable, permanecer en él y ello dependerá de las condiciones iniciales del problema, es decir del valor de y[0].




Las ecuaciones en diferencias proveen, en muchas áreas del conocimiento (Física, Biología, Economía,Ingeniería, etc.), la solución de problemas ligados a la
estabilidad, asintoticidad de un comportamiento dinámico, oscilaciones, teoría del
control, caos, fractales, etc.



Ecuaciones Lineales y de Primer Orden en Diferencias

Una Ecuación en Diferencias, lineal de primer orden sería:
y[n+1] = c(n) y[n] + b(n)
Donde c(n) y b(n) son coeficientes, que varían, en principio, de un estado a otro,es decir, c(n+1) puede ser diferente de c(n) (análogamente con b(n)), en cuyo caso se denomina ecuación de coeficientes no constantes. Si c y b son constantes reales (c,b Î R) que mantienen su valor a lo largo de todo el proceso, la nomenclatura cambiaría a Ecuación Lineal en Diferencias, con Coeficientes Constantes. Además, esta ecuación recibe el sobrenombre de inhomogénea, por el hecho de...