Ecuaciones Diferenciales Con Diferencia Finita

1.1 DEFINICION DE DIFERENCIA FINITA EN 2 DIMENCIONES.-1.2 DETERMINACION DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE 2 DIMENSIONES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes esobviamente un poco más comprometido, aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión.
Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región rectangular),regido por la ecuación diferencial siguiente:


Aquí
es el módulo elástico transversal , dónde es el módulo elástico longitudinal y es la relación de Poisson; es el ángulo de torsión de cadasección y es la función de tensión que satisface la condición en los contornos.
El momento torsor
está dado por y la tensión tangencial en una dirección cualquiera en la sección se obtiene apartir de
.
Para aplicar el método de diferencias finitas en ésta situación, procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. A tal fin, construimos un conjunto de puntos degrilla , igualmente espaciados en el rango con , y también un conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados sobre el rango ,con
.
La región en la cual se requiere la solución estáentonces cubierta por una grilla rectangular de diferencias finitas, a través del trazado de líneas paralelas al eje a través de cada punto
; y de la misma forma, trazando paralelas al eje a través decada punto
.
Un punto típico de grilla está dado entonces por las coordenadas
El método de diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuación (24), lo que significa que nuevamenteremplazaremos los términos que involucran ahora derivadas parciales por sus correspondientes aproximaciones de diferencias finitas.




1.3 APLICACIONES , EJEMPLOS
Aplicaremos a la resolución de la...