Ecuaciones En Diferencia

ECUACIONES
EN
DIFERENCIAS



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FECHA DE REALIZACIÓN:


21-Noviembre-2012

INDICE:

1) Introducción.

2) Clasificación de las ecuaciones en diferencia.

3)Calculo de soluciones en las ecuaciones en diferencia.

4) Utilidad de las ecuaciones en diferencia en la Ciencia e Ingeniería.

5) Bibliografía.
















1. Introducción.

Una manera estándar de definir sucesiones es por recurrencia, defiendo cada término en función de algunos anteriores y proporcionando condiciones iniciales, que son loscasos base de la recurrencia.

La relación de recurrencia que aparece en este tipo de definición es un caso particular de lo que se conoce como ecuación en diferencias: una igualdad que liga los términos de una sucesión.

Se llama ecuación en diferencias a una expresión del tipo

F(yt+n, yt+n-1, yt+n-2,…, yt+1, yt, t) = 0

en el quellamaremos t a la variable independiente, y esta sólo toma los valores enteros t = 0, 1, 2,….
Generalmente, t representa el número de generaciones (días, trimestres, meses, … ) que han transcurrido desde un momento inicial t = 0.

El conjunto de todas las soluciones lo denominamos solución general. Esta
solución general presenta cierto número de parámetros, que se pueden determinar a partir delas condiciones iniciales, dando lugar a las diferentes soluciones particulares.

Denominamos orden de la ecuación, a la diferencia entre el mayor de los índices y el menor que afectan a y.

La siguiente ecuación en diferencias yt+1 - yt = 2, es de primer orden y tiene por solución general a todas las progresiones aritméticas de razón 2, es deciryt = y(t) = 2t + C

siendo C una constante cualquiera. Una solución particular, es la progresión aritmética

{1,3,5…2t+1…}






2. Clasificación de las ecuaciones en diferencia.
Los diferentes tipos de ecuaciones en diferencia que hay son:
2.1 Ecuaciones lineales de primer orden.
Una ecuación endiferencias lineal de primer orden es de la forma
p1(t)yt+1 + p2(t)yt = q(t)
donde pi (t); i = 1, 2 y q(t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión q(t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación homogénea. Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuación lineal es decoeficientes constantes.

Este tipo de ecuaciones son muy interesantes para el estudio de las poblaciones. Suelen aparecer escritas como

yt+1 = p(t)yt + q(t)

donde p(t)yt representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q(t) el número de individuos que en el tiempo t se incorporan a lapoblación como consecuencia de la inmigración.

2.2 Ecuaciones lineales de segundo orden.

Una ecuación en diferencias lineal de segundo orden se expresa de la forma

q(t)=p1(t)yt+2 + p2(t)yt+1 + p3(t)yt

donde pi(t); i = 1, 2, 3 y q(t) son funciones en la variable discreta t.

Si la función q(t) = 0, entonces es su ecuación lineal endiferencias homogénea de segundo orden asociada. Además, si todas las funciones pi(t) son constantes, entonces la expresión es una ecuación en diferencias lineal de segundo orden con coeficientes constantes, y será en la que nos centraremos.

2.3 Ecuaciones en Diferencias Lineales de orden superior.

Una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden k con coeficientes constantes toma la forma...