Ecuaciones lineales

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M AT E M ÁT I C A S
I N G . J O R G E LU I S G U T I É R R E Z P L ATA S .

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA.

Una ecuación es una igualdad donde por lo
menos hay un número desconocido,
llamado incógnita o variable, y que se
cumple para determinado valor numérico
de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de
primer grado a las igualdadesalgebraicas
con incógnitas cuyo exponente es 1.

Como procedimiento general para resolver
ecuaciones enteras de primer grado se
deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que
contengan la variable (x, y, z etc.) se ubican en el miembro izquierdo, y los quecarezcan
de ella en el derecho.
Inverso aditivo: la suma de su inverso es cero.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la variable, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
variable (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Inverso multiplicativo: de un numero x es el numero que multiplicado por x da como
resultado 1.

RESOLUCIÓN DEECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCÓGNITA
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita,
aplicamos el criterio del operador inverso.
2x-3=53
1. Debemos tener las letras a un lado y los números al otro
lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado
de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso
aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta
esla suma).
2.En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos.
3. Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la
variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de
la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso
multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación.

EJEMPLO
a) 5x = 8x- 15
b) 5x + 6 = 10x + 5
c) 9y – 11 = -10 + 12y
d) Y – 5 = 3y – 25SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos de sustitución,
igualación y reducción
Métodos de sustitución.
1.-Despejamos una incógnita o una variable en una de las dos ecuaciones. La que
nos haga mas fácil.
2.-Sustituimos en la ecuación la incógnita o variable despejada.
3.-Resolvemos la ecuación resultante, que es de primer grado ytenemos el valor
de una de las incógnitas.
4.-Sustituimos el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener
el valor de la otra incógnita o variable.
5.- Comprobamos los resultados sustituyendo los valores de x e y en las dos
ecuaciones para ver si cumplen .

EJEMPLO
Observa bien las dos ecuaciones antes de decidir que incógnita despejar y de
que ecuación. En el ejemplodespejar la x de la 1ª o la y de la 2ª, nos
resultaría mas complicado para resolver, al despejar nos quedaría una
fracción.

1.-Despejamos la y de la 1ª ecuación

y = 7 – 2x

2.- Sustituimos la y en la 2ª ecuación

x + 3 (7 – 2x) = 11

3.- Resolveremos para obtener el valor de x

x + 21 – 6x = 11

4.-Obtenemos el valor de y sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación
despejada
y = 7 – 2x
y = 7 -2 (2) =y =3
Solución del sistema x=2, y =3
5.- Comprobando sustituyendo los valores de x e y en el sistema, si las dos
ecuaciones se cumplen los tenemos bien.

EJERCICIOS. MÉTODO SUSTITUCIÓN.
a)

2x + y = 7
3x + 2y = 21

b). x + y = 10
6x – 7y = 34
c) 3x/4 + 4y/5 = 21
2x/3 + 3y/5 = 17

MÉTODO DE REDUCCIÓN
Consiste en conseguir que al sumar las dos ecuaciones del sistema resulte una
ecuación con unasola incógnita.
Para ello será necesario multiplicar los dos miembros de una ecuación y en
algunos casos los de las ecuaciones por numero conveniente para que en
las dos ecuaciones los coeficientes de una de las incógnitas sean números
opuestos.
A) Reduciendo las x
Si queremos eliminar las x necesitamos tener el mismo numero de x en las dos
ecuaciones y deben estar cambiadas de signo. Para...