Ecuaciones No Lineales

CAPITULO 2 – ECUACIONES NO LINEALES

2.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

Uno de los problemas que se presenta con frecuencia en ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es una función real de una variable x, como un polinomio en x
f(x) = 4x5 + x3 – 8x + 2
o una función trascendente
f(x) = ex sen x + ln 3x + x3
Existen distintos algoritmospara encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, pero ninguno es general; es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas las ecuaciones; por ejemplo, se puede tener un algoritmo que funciona perfectamente para encontrar las raíces de f1(x ) = 0, pero al aplicarlo no se pueden encontrar los ceros de una ecuación distinta f2(x) = 0
Sólo en muy pocos casos será posible obtener las raícesexactas de f(x) = 0, como cuando f(x) es un polinomio factorizable, tal como
[pic]
donde [pic], 1 ≤ i ≤ n denota la i-ésima raíz de f(x) = 0. Sin embargo, se pueden obtener soluciones aproximadas al utilizar algunos de los métodos numéricos de este capitulo. Se empezará con el método de punto fijo (también conocido como de aproximaciones sucesivas, de iteración funcional, etc.).

2.1.1 MÉTODO DEPUNTO FIJO

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma x = g(x)
Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien  sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 

Ejemplos:
1) La ecuación:  cos x – x = 0 se puede transformar en: cos x = x.
2) La ecuación:  tan x – e-x = 0 se puede transformar en: x + tan x – e-x = x.Dada la aproximación xi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:
[pic]
Supongamos que la raíz verdadera es xr, es decir,
[pic]
Restando las últimas ecuaciones obtenemos:
[pic]
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) entonces existe ξ Є (a, b) tal que [pic].
En nuestro caso, existe ξ en el intervalo determinadopor xi y xr y tal que:
[pic]
De aquí tenemos que:
[pic]
O bien,
[pic]
Tomando valor absoluto en ambos lados,
[pic]
Observe que el término |xr–xi+1| es precisamente el error absoluto en la (i+1)ésima iteración, mientras que el término |xr-xi| corresponde al error absoluto en la i-ésima iteración.
Por lo tanto, solamente si |g’(ξ)| < 1, entonces se disminuirá el error en lasiguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.
En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)| < 1 para x en un intervalo [a, b] que contiene a la raíz y donde g(x) es continua y diferenciable, pero diverge si |g’(x)| > 1 en dicho intervalo.
Analicemos nuestros ejemplos anteriores:
• En el ejemplo 1, g(x) = cos x y claramente secumple la condición de que |g’(x)| < 1. Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
• En el ejemplo 2, g(x) = x+tan x– e-x, en  este caso |g’(x)| = |1 + sec2x + e-x| > 1. Por lo tanto, el método no converge a la raíz.
Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cos x – x.
comenzando con x0 =0 y hasta que |Єa| < 1%.

Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
x1 = g(x0) = cos 0 = 1
Con un error aproximado de 100%
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
x2 = g(x1) = cos 1 = 0.540302305
Y un error aproximado de 85.08%.
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. Enefecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:
x13 = 0.7414250866
Con un error aproximado igual al 0.78%.

Ejemplo 2
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x – ex. comenzando con x0 = 0 y hasta que |Єa| < 1%.

Solución
Si despejamos la x del término lineal vemos...