ecuaciones parametricas

Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán
Examen de Primera Oportunidad de Cálculo Vectorial
Nombre del alumno (a): _____________________________________ Grupo:

Fecha:

Unidad III (Funciones vectoriales de una variable real)
Competencia específica: Reconoce una función vectorial en distintos contextos y la maneja como un
vector, además de que maneja con soltura ecuacionesparamétricas y el software para graficar curvas y
analiza la gráfica de curvas de funciones vectoriales en el espacio y determina los parámetros que
definen una curva en el espacio.
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, hacerlo con claridad y detalladamente, es necesario
procedimiento y respuesta.
1. Determinar
(a) (10 pts.) 𝐷𝑡 [𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡)] donde 𝑟⃗(𝑡) = 〈𝑡, 3𝑡, 𝑡 2 〉 𝑦 𝑢
⃗⃗(𝑡) =〈4𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 〉.
Solución:
S1) Como 𝐷𝑡 [𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡)] = 𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗′ (𝑡) + 𝑟⃗′(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡)
Sean
𝑟⃗′(𝑡) = 〈1, 3, 2𝑡〉
y
𝑢
⃗⃗′(𝑡) = 〈4, 2𝑡, 3𝑡 2 〉
Luego
𝑖 𝑗
𝑘
𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗′ (𝑡) = | 𝑡 3𝑡 𝑡 2 | = (9𝑡 3 − 2𝑡 3 )𝑖 − (3𝑡 3 − 4𝑡 2 )𝑗 + (2𝑡 2 − 12𝑡)𝑘
4 2𝑡 3𝑡 2
Y
𝑖
𝑗 𝑘
𝑟⃗′(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡) = | 1 3 2𝑡| = (3𝑡 3 − 2𝑡 3 )𝑖 − (𝑡 3 − 8𝑡 2 )𝑗 + (𝑡 2 − 12𝑡)𝑘
4𝑡 𝑡 2 𝑡 3
Así
𝐷𝑡 [𝑟⃗(𝑡) × 𝑢⃗⃗(𝑡)] = 8𝑡 3 𝑖 − (4𝑡 3 − 12𝑡 2 )𝑗 + (3𝑡 2 − 24𝑡)𝑘 = 〈8𝑡 3 , 12𝑡 2 − 4𝑡 3 , 3𝑡 2 − 24𝑡〉
S2) Sea

𝑖
𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡) = | 𝑡
4𝑡
Así

𝑗
3𝑡
𝑡2

𝑘
4
4
4
3
3
2
4
3
4 3
2
𝑡 2 | = (3𝑡 − 𝑡 )𝑖 − (𝑡 − 4𝑡 )𝑗 + (𝑡 − 12𝑡 )𝑘 = 〈2𝑡 , 4𝑡 − 𝑡 , 𝑡 − 12𝑡 〉
3
𝑡
𝐷𝑡 [𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡)] = 〈8𝑡 3 , 12𝑡 2 − 4𝑡 3 , 3𝑡 2 − 24𝑡〉

Para el examen 2, 𝐷𝑡 [𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡)] donde 𝑟⃗(𝑡) = 〈3𝑡, 𝑡, 𝑡 2 〉 𝑦 𝑢
⃗⃗(𝑡) =〈4𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 〉.
Se realizan los mismos procedimientos ya sea aplicando primero la propiedad de derivada del producto
vectorial o derivar el resultado del producto vectorial.
Sea
𝑖
𝑗 𝑘
𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡) = |3𝑡 𝑡 𝑡 2 | = (𝑡 4 − 𝑡 4 )𝑖 − (3𝑡 4 − 4𝑡 3 )𝑗 + (3𝑡 3 − 4𝑡 2 )𝑘 = 〈0,4𝑡 3 − 3𝑡 4 , 3𝑡 3 − 4𝑡 2 〉
4𝑡 𝑡 2 𝑡 3
así
𝐷𝑡 [𝑟⃗(𝑡) × 𝑢
⃗⃗(𝑡)] = 〈0,12𝑡 2 − 12𝑡 3 , 9𝑡 2 − 8𝑡〉

(b) (10 pts.) Lavelocidad de una partícula móvil 𝑣⃗(𝑡) = −10𝑡𝒊 + (3𝑡 2 − 4𝑡)𝒋 + 𝒌. Si la partícula parte en
𝑡 = 0 en (1, 2, 3) ¿cuál es su posición en 𝑡 = 2?
Solución:
Como 𝑣⃗(𝑡) = 𝑟⃗′(𝑡) entonces se integra para obtener la función de posición
∫ 𝑣⃗(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑟⃗′(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫(−10𝑡𝒊 + (3𝑡 2 − 4𝑡)𝒋 + 𝒌)𝑑𝑡 = −5𝑡 2 𝑖 + (𝑡 3 − 2𝑡 2 )𝑗 + 𝑡𝑘 + 𝐶⃗
Por lo que
𝑟⃗(𝑡) = −5𝑡 2 𝑖 + (𝑡 3 − 2𝑡 2 )𝑗 + 𝑡𝑘 + 𝐶⃗
Como en 𝑟⃗(0) = 𝑖 + 2𝑗 +3𝑘 entonces
𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 = 𝑟⃗(0) = −5(02 )𝑖 + (03 − 202 )𝑗 + 0𝑘 + 𝐶⃗
Así 𝐶⃗ = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 sustituyendo en 𝑟⃗(𝑡) la función de posición en cualquier t es
𝑟⃗(𝑡) = −5𝑡 2 𝑖 + (𝑡 3 − 2𝑡 2 )𝑗 + 𝑡𝑘 + 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 = (1 − 5𝑡 2 )𝑖 + (𝑡 3 − 2𝑡 2 + 2)𝑗 + (𝑡 + 3)𝑘
Por lo que la posición de la partícula en t = 2 es
𝑟⃗(2) = (1 − 5(22 ))𝑖 + (23 − 2(2)2 + 2)𝑗 + (2 + 3)𝑘 = −19𝑖 + 2𝑗 + 5𝑘 = 〈−19,2,5〉
(c) (20pts.) La curvatura en 𝑡 =

𝜋
2

de la función vectorial 𝑟⃗(𝑡) = 〈𝑡, cos 𝑡 , 𝑡 sin 𝑡〉

Solución: Para obtener la curvatura se puede ocupar cualquiera de las fórmulas
‖𝑇′(𝑡)‖ ‖𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡)‖
𝑘=
=
‖𝑟′(𝑡)‖
‖𝑟 ′ (𝑡)‖3
Sean
𝑟⃗′(𝑡) = 〈1, − sin 𝑡 , 𝑡 cos 𝑡 + sin 𝑡〉
Luego
𝜋
𝜋 𝜋
𝜋
𝜋
𝑟⃗′ ( ) = 〈1, − sin ( ) , cos ( ) + sin ( )〉 = 〈1, −1,1〉
2
2 2
2
2
Por otro lado
𝑟⃗ ′′ (𝑡) = 〈0, −cos 𝑡 , −𝑡 sin 𝑡 + cos 𝑡 + cos 𝑡〉 = 〈0, − cos 𝑡 , −𝑡 sin 𝑡 + 2 cos 𝑡〉
así

𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑟⃗ ′′ ( ) = 〈0, − cos ( ) , − ( ) sin ( ) + 2 cos ( )〉 = 〈0,0, − 〉
2
2
2
2
2
2

Para la magnitud
‖𝑟′(𝑡)‖ = √1 + (−𝑠𝑖𝑛𝑡)2 + (𝑡 cos 𝑡 + sin 𝑡)2
2

𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋 2
‖𝑟′ ( )‖ = √1 + (−𝑠𝑖𝑛 ( )) + ( cos ( ) + sin ( )) = √3
2
2
2
2
2
Entonces
𝑖
𝜋
𝜋
1
′′
𝑟 ( )×𝑟 ( )=|
2
2
0
′

𝑗
−10

𝑘
1 | = − 𝜋 (−𝑖 − 𝑗) = 〈𝜋 , 𝜋 , 0〉
𝜋
2
2 2
−
2

Por lo que
𝜋
𝜋
𝜋 2
𝜋 2
2𝜋 2
𝜋
‖𝑟 ′ ( ) × 𝑟 ′′ ( )‖ = √( ) + ( ) = √
=
2
2
2
2
4
√2

Por lo tanto la curvatura en t =

𝜋
2

𝜋
𝜋
𝜋
‖𝑟 ′ ( ) × 𝑟 ′′ ( )‖
𝜋
𝜋
2
2
𝑘=
= √2 3 =
=
3
3
𝜋
3√6
(√3)
√2(√3)
‖𝑟 ′ ( )‖
2

2. (20 pts.) Un proyectil es disparado desde el nivel del suelo con una...