ecuaciones polinomiales

Ecuaciones Polinomiales

Una función polinomial tiene la siguiente forma general (o estándar):

f ( x ) = an x n + an−1 x n −1 +  + a1 x + a0
En donde an , an−1 ,  , a0 son números reales, an es diferente de cero, y n es un número

entero positivo. Algunos autores prefieren escribir P( x ) en lugar de f ( x ) ; en este curso utilizarás

f (x ) .

¿Se te hace conocida esta expresiónmatemática? Vista en esta forma tal vez no la identifiques,
pero qué pensarías si te dijera que la función constante, la función lineal y la función cúbica
pertenecen a esta clase de función. Analiza la siguiente tabla:

Forma

f ( x ) = a0

Nombre
Función constante

Gráfica

f (x ) = a1 x + a0

f ( x ) = a2 x 2 + a1 x + a0

f ( x ) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0

Función linealFunción cuadrática

Función cúbica

Si analizas el comportamiento de las funciones anteriores, podrás observar que todas cumplen con
la forma general de una función polinomial de grado n.
En esta lectura analizarás las ecuaciones polinomiales de grado mayor a 2, y se determinarán las
raíces (soluciones o ceros) de la ecuación polinomial:

f (x ) = 0
En la lectura sobre ecuacionescuadráticas, aprendiste que la solución a una ecuación significa
determinar valores de x, que hagan cierta la igualdad, y estudiaste diferentes métodos para
determinar las raíces de una ecuación cuadrática. Pero ¿qué pasa si se pretende resolver una
ecuación cúbica?, ¿cuántas soluciones tiene?, ¿y una de grado 4?
El siguiente teorema, mencionado por Juliá-Díaz (2008, p.40), nos ayuda a darrespuesta a algunas
de las interrogantes anteriores:

Teorema Fundamental del Álgebra
Toda ecuación polinómica de grado n-ésimo, tiene exactamente n soluciones,
contando cada una de ellas tantas veces como indique su multiplicidad (es
decir, contando repeticiones).

Este teorema proporciona la respuesta a la interrogante ¿cuántas soluciones tiene una
ecuación polinomial? De acuerdo con elTeorema Fundamental del Álgebra, una ecuación
polinomial de grado n=2 tiene exactamente dos raíces, ceros o soluciones, reales o complejas y no
necesariamente diferentes.
Por lo anterior, una ecuación polinomial cúbica (n=3) posee tres raíces. De la misma forma, una
ecuación polinomial de grado 4 tiene 4 raíces.
Es importante mencionar que para una ecuación polinomial, los términos raíz, solucióno cero,
tienen el mismo significado, así que en este curso se utilizan indistintamente.

Ejemplos:
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación polinomial 2 x 5 + 3 x 3 − x + 8 = 0 ?
Solución.
Debido a que el exponente mayor de este polinomio, es decir su grado, es n=5, su
número de soluciones es 5.
Un complemento del teorema fundamental del álgebra es el teorema de las n
raíces, que de acuerdocon Barnet (2000, p. 300) dice:

Teorema de las n raíces
Cada polinomio f(x) de grado n>0 se puede expresar como el
producto de n factores lineales. De aquí que f(x) tenga exactamente
n raíces (no necesariamente distintas).

¿Recuerdas qué es un factor lineal?

Un factor lineal es un factor de la forma x − a , es decir, un factor en donde la variable x tiene
exponente 1; a puede tomarcualquier valor real o complejo.
Para entender mejor el significado de este teorema, observa el siguiente ejemplo.

¿Cuál es el grado del polinomio f ( x ) = ( x + 2 )( x + 5)( x − 6 )( x − 1) ?
Solución.
Observa que los factores lineales son 4, por lo que, de acuerdo con el teorema de
las n raíces, el grado del polinomio es 4.
Expresa la siguiente ecuación cúbica como el producto defactores lineales.

x3 + x 2 − 6x = 0
Solución.
De acuerdo con el Teorema de las n raíces, y debido a que el grado del polinomio
es n=3, el número de factores lineales que forman la ecuación es 3.

Sacando como factor común a la x , y factorizando la cuadrática resultante,
tienes:

x 3 + x 2 − 6 x = (x )(x + 3)(x − 2 )
que es el resultado esperado, es decir, el polinomio inicial se expresó...