Ecuaciones primer grado

UNIVERSIDAD PANAMERICANA

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.
ESCUELA DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES
ECEE

AGOSTO 2012

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I. ECUACIONES POLINOMIALES
1.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.1.

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

La igualdad siguiente 2 x  3  5 x  2 se denomina ecuación, podemos decir que una ecuación es una
igualdad algebraica,observemos que dicha igualdad tiene como incógnita la x por lo cual decimos que es
una ecuación con una incógnita.
La siguiente igualdad x  y  75 ¿es una ecuación? Sin duda sí lo es, en este caso decimos que es una
ecuación con dos incógnitas. En cualquiera de las dos ecuaciones observamos que los exponentes de las
variables o incógnitas es uno, por lo cual se llaman de primer grado. Si dichasvariables tuvieran otro
exponente entero positivo entonces, de acuerdo al mayor exponente, decimos que es el grado de la
ecuación, por ejemplo:

x 2  3 x  6  0 Ecuación de segundo grado o cuadrática.
2 x 3  5 x 2  17 x  25 Ecuación de tercer grado.
5  2 x 2  3x 4  0 Ecuación de cuarto grado. etc.
Sin embargo, si el exponente es fraccionario o negativo, no se clasifican de la formaanterior, aunque se
tienen ecuaciones con este tipo de exponente y al realizar ciertas operaciones algebraicas se pasan a alguna
de las anteriores.
De acuerdo a lo anterior definimos una ecuación de primer grado con una incógnita o variable, como
“aquella igualdad en donde se tiene una sola incógnita o variable y su mayor exponente es uno”.

1.2.
COMO RESOLVER LA ECUACIÓN
Para encontrar elvalor de la incógnita deben aplicarse las propiedades de la igualdad:
Sean a  b , donde a, b   , si c   se cumple:
1.- a  c  b  c
2.- a  c  b  c
3.- a  c  b  c

ab
 , con c  0
cc
n
n
5.- a  b , con n  0  
4.-

Aplicando las propiedades podemos “despejar” la variable y obtener la solución de la ecuación.

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1.2.1. SOLUCIONES UNICAS
Ejemplo:
Encontrar lasolución de: x  5  7 .

“Pasa restando”

Este procedimiento lo conocemos como uso de las operaciones inversas e incluso se dice que “el 5 está
sumando “pasa restando”.
Por lo cual la solución a una ecuación de primer grado es simplemente despejar la incógnita o variable,
mediante el uso de operaciones inversas.
Ejemplo:
Encontrar la solución de: 5 x  2  3( x  4) .
Eliminar paréntesis:Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación:
Reducir términos:
Despejar la variable:

Ejemplo:
Encontrar la solución de:

.

Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación:
Reducir términos:
Despejar la variable:

3

Ejemplo:
Encontrar la solución de:

x 3
 2
2x  1

Esta es una ecuación fraccionaria; en este caso es importante dejar una ecuación lineal sindenominadores:
x  3  2 2 x  1
Eliminar paréntesis: x  3  4 x  2
Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: x  4 x  2  3
Reducir términos: 5 x  1
Despejamos la variable: x 

1
5

1.2.2. SOLUCIONES INFINITAS
Ejemplo:
Encontrar la solución de: x  3  2 x   x  3
Eliminar paréntesis: x  3  2 x  x  3
Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: x  2x  x  3  3
Reducir términos: 0 x  0
De esta manera: 0  0
Por lo tanto la solución es infinita.
Lo anterior significa que para cualquier valor  que le demos a x la ecuación se satisface.
1.2.3. ECUACIONES SIN SOLUCIÓN
Ejemplo:
Encontrar la solución de: 2  3  x  1  x  2  x  1
Eliminar paréntesis: 2  3 x  3  x  2 x  2
Agrupar la variable de un solo lado de la ecuación: 3x  x  2 x  2  2  3
Reducir términos: 0 x  7
Lo anterior es una contradicción e implica que la ecuación no tiene solución. Es decir, no existe un valor 
que satisfaga la ecuación.

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1.2.4. USO DE LA CALCULADORA1
Ejemplo:
Encontrar la solución de 2 x  x  3  10  7 x  4
Cerciorarse que la calculadora se encuentre en Modo “Math” presionando las teclas: Mode 1
Escribir la...