Ecuaciones Simultaneas

Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos variables:
X + 6y = 27 7x – 3y = 9
Los valores de x, de y con los mismos en ambas ecuaciones.
Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el valor de cada variable; obviamente se necesitan 2 ecuaciones.
Hay varios métodos:
1) Primer método: Eliminación por igualación: Se despeja en ambas ecuaciones una de lasvariables y se igualan sus valores.
Ejemplo: Tomemos las ecuaciones 3x + 5 y = 7 2x – y = -4
Despejemos x con ambas ecuaciones e igualemos sus valores:
x =
3 75y −
; x =
2 4−y
⇒
2
4
3 75 − = − yy
Resolvamos:
2 (7 – 5y) = 3 (y - 4)
14 – 10y = 3y – 12
26 = 13y
y =2 Ahora reemplacemos el valor de y con una de las ecuaciones:
3x + 5y = 7
3x + 5 (2) = 7
3x = 7 - 10 x = - 1 Solución = (-1,2)
Germán Giraldo

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Ahora podemos hacer la representación gráfica de las 2 ecuaciones en un solo plano cartesiano. Escribamos como primer punto la solución (-1,2) y otros dospuntos: Primero: 3x + 5y = 7; 75 3 y x − =
X -1 0 -3 Y 2 1 5 2 3 5 1 Segundo: 2x – y = -4; 4 2 y x − =
X -1 -2 0 Y 2 0 4
Ubicamos en un plano cartesiano los tres puntos de la primera ecuación y al unirlos, obtenemos una recta que se corta en el punto (- 1,2) con la recta que resulta de unir los tres puntos de la segunda ecuación. Ese punto (- 1,2) es la solución gráfica del sistema delas dos ecuaciones.
2) Método eliminación por sustitución.
Ejemplo: 32 x = 25 y + 13 15 y + 16 x = 1
despejamos en una de las ecuaciones una variable y sustituímos su valor hallado en la otra.
Por ejemplo: en la primera 25 13 32 y x + =
sustituímos la x en la segunda quedando así:
15 y + 16 25 13 1 32 y + ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ Simplificando 16 y 32 queda:
15 y + 25 13 12 y + = m.c.m. = 2 30 y + 25 y + 13 = 2 55 y = - 11 y = - 1 5 Germán Giraldo

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De la misma forma que procedimos en el ejemplo anterior, podemos dibujar la gráfica de este sistema de ecuaciones.
Para encontrar el valor de x, tomamos cualquiera de los valores hallados para x en una de las ecuaciones y sustituímos la y por el valor hallado:
1 25 13 35 13 5 13 8 15 32 32 32 32 4 y
x
⎛⎞ −+ ⎜⎟ + − + ⎝⎠ = = = = =
3) Método de reducción (suma y resta)
7 x – 1 = 15 y - 8 – x = 6 y:
Ordenamos las ecuaciones a su posición canónica:
7 x – 15 y = 1
- x - 6 y = 8
Eliminamos una de las variables, multiplicando ambas ecuaciones por números tales que la variable pueda cancelarse:
(2)(7 x – 15 y) = (1) (2)
- 5 (- x – 6 y) = (8) (-5)
Quedan así: 14 x – 30 y = 2 5 x +30 y = - 40
19 x = - 38 x = 38 19 − x = - 2
Para hallar el valor de y, despejamos esta incógnita:
- 8 – x = 6 y ⇒ 8 6
x
y
−−
= ⇒ ( ) 82 6 y − − − = ⇒ 6 6
y − =
y = - 1 S = () { } 2, 1 −−
Germán Giraldo

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Podemos después dibujar la gráfica.Ejercicios:
Resolver los siguientes sistemas por cualquier método y dibujar la gráfica: 1) 8 m – 5 = 7 n – 9 2) m – 1 = n + 1 6 m = 3 n + 6 3 n - 7 = m + 3
3) 3(x + 2) = 2 y 4)(b – c) – (6 b + 8 c) = - (10 b + 5 c + 3) 2 (y + 5) = 7 x (b + c) – (9 c – 11 b) = 2 c – 2 b
5) 5 (p + 3q) – (7 p + 8 q) = 6 6) 2 (m+ 5) = 4 (n – 4 m) 7 p – 9 q – 2 (p – 19 q) = 0 10(n – m) = 11 n – 12 m
7) 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0 8) x (y – 2) – y (x – 3) = - 14 5(x - 1) – (2y - 1) = 0 y (x – 6) – x (y – 9) = 5
Resolver los siguientes sistemas por un método, combinando los tres:
9)
3
11
2
7
2
x
y
y
x
+=
+= 10)
5
9...