Ecuaciones Simultaneas

Soluci´n de Ecuaciones Simult´neas por o a el M´todo de Matrices e

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ciencias Qu´ ımicas y Farmacia Matem´tica IV a
Rony Jos´ Letona QQ 200960024 e

´ INDICE

´ INDICE

´ Indice
1. Matrices 1.1. Resoluci´n de Sistemas de Ecuaciones o 1.1.1. Operaciones de Rengl´n . . . o 1.1.2. M´todo de Gauss-Jordan . . . e 1.2. Matrices Singulares .. . . . . . . . . 2. El Programa 2.1. Funciones con Listas . . . . . . . . . 2.2. Resoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 2.3. Interfaz e Interacci´n con el Usuario . o 2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 3 4 5 5 6 6 6 6 6 6

3. Bibliograf´ ıa 3.1. Libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Herramientas . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0

1 MATRICES

1.

Matrices

Cuando se trata de las ciencias exactas, son muchas las ocaciones en que nos encontramos con sistemas de ecuaciones. Sea para balancear una reacci´n qu´ o ımica o para determinar la masa de un cuerpo est´tico en un sistema, calcular el ´ngulo entre dos objetos rotando alrededor deuno, etc. a a Sea cual sea el caso, siempre se reduce a un sistema de ecuaciones que en muchos casos representamos por matrices. Y qu´ es una matriz? Una matriz es un arreglo de dos dimensiones en el que se han ordenado e las variables de un sistema de ecuaciones en columnas y en donde cada ecuaci´n individual es o representada por una fila. Para poder representar esto de mejor forma, tomemos unejemplo. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones x−y =1 y+x=3 (1)

Para obtener una matriz de este sistema, es necesario ordenar primero las ecuaciones de tal forma en que las variables que sean iguales puedan encontrarse en columnas. Entonces, el sistema toma la forma siguiente x−y =1 x+y = 3 (2)

Ahora, ya teniendo un sistema ordenado, se procede a mostrar los coeficientes de cada una delas variables de la siguiente forma 1 · x + (−1) · y = 1 1·x + 1·y = 3 (3)

Aprovechando la forma del sistema y su similitud a vectores en R2 , se toma a los coeficientes como vectores y la ecuaci´n se puede reescribir como una ecuaci´n vectorial o o x 1 −1 1 +y = 1 1 3 (4)

Por ultimo, se har´ la convenci´n de que x y y quedar´n impl´ ´ a o a ıcitos en la primera y segunda columna y que elsigno = utilizado en las ecuaciones, ser´ sustitu´ por una barra. Despu´s de a ıdo e todo esto, el sistema de ecuaciones terminar´ como un arreglo al que se le llamar´ matriz. a a 1 −1 1 1 1 3 (5)

Generalizando ya, un sistema de ecuaciones como el siguiente a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Se puede representarpor una matriz

(6)

1

1.1 Resoluci´n de Sistemas de Ecuaciones o

1 MATRICES

    

a11 a21 . . .

a12 a22 . . .

... ... .. .

a1n a2n . . . amn

b1 b2 . . . bm

    

(7)

am1 am2 . . .

1.1.

Resoluci´n de Sistemas de Ecuaciones o

Ya dispuestas las ecuaciones en forma de matriz, se procede a resolver el sistema con el fin de saber el valor de cadavariable. Para esto existen varios m´todos anal´ e ıticos. Uno de ellos es el m´todo e de Cramer, que utiliza determinantes. Otro m´todo es el de Gauss (publicado en 1809), aunque e este requiere muchos c´culos posteriores a la resoluci´n de la matriz. El m´todo perfeccionado por a o e Wilhelm Jordan (publicado en 1887) nos provee de una soluci´n indmediatamente al terminar las o operaciones en la...